Question

某地区地理环境偏僻，严重制约经济发展，影响了某种土特产品销售．该地区政府每投资x万元，所获利润为P=-

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x(x-80)万元．为顺应开发大西北的宏伟决策，该地区政府在制订经济发展十年规划时，拟开发此种土特产品，而开发前后用于该项目投资的专项财政拨款每年都是60万元．若开发该产品，必须在前5年中，每年从60万元专款中拿出30万元投资修通一条公路，且5年可以修通．公路修通后该土特产品销售渠道拓宽，每投资x万元，可获利润Q=-

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x(x-90)万元．问从该土特产十年的投资总利润（未用来投资的专项财政拨款视为利润）来看，该项目有无开发价值？请详细说明理由．

Answer 1

分析：由已知中每投入x万元，可获得利润为P=-

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x(x-80)万元，可知每年只须投入36万，可获得最大利润220万元，进而求出10年的总利润W₁，又由前5年中，每年都从60万元中拨出30万元用于修建一条公路，由在外地销售的投资收益为：每投入x万元，可获利润Q=-

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x(x-90)万元，则我们可得前5年的本地销售利润和，及外地销售利润和，累加后与W₁相比较，即可判断出该规划方案是否可行．

解答：解：该项目有开发的价值．
（1）若不开发该产品：
因为政府每投资x万元，所获利润为P=-

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x(x-80)（0≤x≤60）万元，
投资结余60-x万元，故可设每年的总利润为f(x)=-

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8

x(x-80)+60-x=-

1

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x2+9x+60=-

1

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(x-36)2+222（0≤x≤60），
∴当x=36时，f（x）_max=f（36）=222万元，
故十年总利润为2220万元．
（2）若开发该产品
前五年每年所获最大利润为P(30)=

375

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万元，
后五年可设每年总利润为g(x)=-

1

6

x(x-90)+60-x=-

1

6

x2+14x+60，（0≤x≤60）
∴当x=42时，g（x）_max=g（42）=354万元
故十年总利润为

375

2

×5+354×5=

5415

2

＞2220
所以从该土特产十年的投资总利润来看，该项目具有开发价值．

点评：本题考查的知识点是根据实际问题选择函数类型，其中将该规划方案是否可行转化为两种投资方式的利润之比，进而转化为函数最值的比较，正确寻找到函数关系是解答本题的关键．属于中档题．