Question

定义运算a*b=

a，(a≥b) b，(a＜b)

，如1*2=2，则函数f（x）=sinx*cosx的值域为

[-

2

2

，1]

．

Answer 1

分析：利用正余弦曲线，算出函数f（x）在区间[-

3π

4

，

5π

4

）上的最小值为-

2

2

，最大值为1，可得此时函数的值域为[-

2

2

，1]．再证出函数的周期为2π，所以函数在R上的值域与[-

3π

4

，

5π

4

）上的值域相同，可得答案．

解答：解：∵函数f（x）=sinx*cosx=

sinx，(sinx≥cosx) cosx，(sinx＜cosx)

，
∴当x∈[-

3π

4

，

5π

4

）时，根据正余弦曲线，
可得f（x）=

sinx，(- 3π 4 ≤x≤ π 4 ) cosx，( π 4 ＜ 5π 4 )

，
∴此时函数的最小值为f（-

3π

4

）=-

2

2

； 函数的最大值
为f（0）=f（

π

2

）=1，可得函数的值域为[-

2

2

，1]．
∵f（x+2π）=sin（x+2π）*cos（x+2π）=sinx*cosx=f（x），
∴函数f（x）=sinx*cosx的周期为2π，可得函数在R上的值域与[-

3π

4

，

5π

4

）上的值域相同，
由此可得函数f（x）=sinx*cosx的值域为[-

2

2

，1]．
故答案为：[-

2

2

，1]

点评：本题给出新定义的函数，求f（x）=sinx*cosx的值域．着重考查了三角函数的图象与性质、函数的周期与值域求法等知识，属于中档题．