Question

已知定义域为R的函数f(x)=

a•2x-1

2x+1

是奇函数．
（1）求a的值；
（2）试判断f（x）的单调性，并用定义证明；
（3）若对任意的t∈[-2，2]，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由奇函数的定义得到f（-x）=-f（x），解出f（0）=0代入解析式求解即可
（2）由（1）f(x)=

2x-1

2x+1

，任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，作差，利用定义法证明其单调性；
（3）由奇函数的性质将不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立的问题转化为，f（t²-2t）＜f（-2t²+k）对t∈[-2，2]恒成立利用函数的单调性转化为一元二次不等式，整理得到一个一元二次不等式在t∈[-2，2]恒成立，借用二次函数的性质求最值即可．

解答：解：（1）f（-x）=-f（x）?f（0）=0
则

a-1

1+1

=0?a=1
（2）f（x）为递增函数
任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则f(x1)-f(x2)=

2x1-1

2x1+1

-

2x2-1

2x2+1

=

2(2x2-2x1)

(2x1+1)(2x2+1)

∵x₁＜x₂∴2x1-2x2＜0，2x1+1＞0，2x2+1＞0
∴f（x₁）＜f（x₂），所以f（x）为递增函数
（3）f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0对t∈[-2，2]恒成立
则f（t²-2t）＜-f（2t²-k）对t∈[-2，2]恒成立
因为f（x）为奇函数，即f（-x）=-f（x）
则f（t²-2t）＜f（-2t²+k）对t∈[-2，2]恒成立
又因为f（x）为递增函数
所以t²-2t＜-2t²+k对t∈[-2，2]恒成立
即3t²-2t-k＜0对t∈[-2，2]恒成立
令u=3t²-2t-k，t∈[-2，2]，当x=-2时，u_max=16-k
则16-k＜0，则k＞16

点评：本题考查奇偶性与单调性的综合，解题的关键是掌握住奇函数的性质以及定义法证明单调性的原理与步骤，第三问中解抽象不等式是本题的重点，利用函数的奇偶性与单调性结合解不等式是这两个性质的重要运用，这几年的高考中时有出现，题后要总结一下此小题的解题规律，本小时易因为转化不等价导致错误，切记．