Question

设函数f(x)=

x3

3

-x2-3x-3a，(a大于0)．（1）如果a=1，点p为曲线y=f（x）上一个动点，求以P为切点的切线其斜率取最小值时的切线方程；
（2）若x∈[a，3a]时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）对函数f（x）进行求导，求出导函数的最小值即为所求切线方程的斜率，再求出切点再由点斜式得到切线方程．
（2）根据导函数的正反判断函数的单调性，然后对a的不同范围求函数f（x）在x∈[a，3a]上的最小值使得大于等于0，进而可确定a的范围．

解答：解：（Ⅰ）设切线斜率为k则k=f'（x）=x²-2x-3，当x=1时k最小值为-4．
f（1）=-

20

3

所以切线方程为y+

20

3

=-4（x-1）即12x+3y+8=0
（Ⅱ）由k=f'（x）=x²-2x-3＞0，k=f'（x）=x²-2x-3＜0＜0得．
函数f（x）=

x3

3

-x2-3x-3a，（a＞0）在（-∞，-1），（3，+∞）为增函数，在（-1，3）减函数
（1）

0＜a＜3a≤3 f(3a)≥0

，无解；
（2）

0＜a＜3＜3a f(3)≥0

无解；
（3）

a≥3 f(a)≥0

，解得a≥6．综上所述a≥6．

点评：本题主要考查导数的几何意义、函数单调性与其导函数的正负之间的关系，属基础题．