Question

10．定义在（0，$\frac{π}{2}$）上的函数f（x），其导函数f′（x）在（0，$\frac{π}{2}$）上总使得f（x）＜f′（x）•tanx成立，则下列各式中一定成立的是（　　）

• A． f（$\frac{π}{6}$）＞$\sqrt{3}$f（$\frac{π}{3}$）
• B． f（$\frac{π}{6}$）＜$\sqrt{3}$f（$\frac{π}{3}$）
• C． $\sqrt{3}$f（$\frac{π}{6}$）＞f（$\frac{π}{3}$）
• D． $\sqrt{3}$f（$\frac{π}{6}$）＜f（$\frac{π}{3}$）

Answer 1

分析 把给出的等式变形得到f′（x）sinx-f（x）cosx＞0，由此联想构造辅助函数g（x）=$\frac{f（x）}{sinx}$，由其导函数的符号得到其在（0，$\frac{π}{2}$）上为增函数，则g（$\frac{π}{6}$）＜g（$\frac{π}{3}$），整理后即可得到答案．

解答 解：∵x∈（0，$\frac{π}{2}$），∴sinx＞0，cosx＞0．
由f（x）＜f′（x）tanx，得f（x）cosx＜f′（x）sinx，
即f′（x）sinx-f（x）cosx＞0．
令g（x）=$\frac{f（x）}{sinx}$，x∈（0，$\frac{π}{2}$），则g′（x）=$\frac{f′（x）sinx-f（x）cosx}{si{n}^{2}x}$＞0．
∴函数g（x）=$\frac{f（x）}{sinx}$在x∈（0，$\frac{π}{2}$）上为增函数，
则g（$\frac{π}{6}$）＜g（$\frac{π}{3}$），即$\frac{f（\frac{π}{6}）}{sin\frac{π}{6}}＜\frac{f（\frac{π}{3}）}{sin\frac{π}{3}}$，
∴$\frac{f（\frac{π}{6}）}{\frac{1}{2}}＜\frac{f（\frac{π}{3}）}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$，
即$\sqrt{3}$f（$\frac{π}{6}$）＜f（$\frac{π}{3}$）．
故选：D．

点评 本题考查了导数的运算法则，考查了利用函数导函数的符号判断函数的单调性，考查了函数构造法，属中档题．