Question

【题目】已知函数

（1）若，是否存在，使得为偶函数，如果存在，请举例并证明，如果不存在，请说明理由；

（2）若，判断在上的单调性，并用定义证明；

（3）已知，存在，对任意，都有成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析；

（2）见解析；

（3）.

【解析】

（1）将代入证明为偶函数即可。

（2）代入，先判断函数为单调递减函数，再根据定义法代入作差即可证明为单调递减函数。

（3）去绝对值化简不等式，根据全称命题与特称命题的成立关系可得，分两段不等式求解即可。

（1）存在使为偶函数，

此时：，

证明：的定义域为关于原点对称，

且

为偶函数。

（2），且，，

在上为减函数

证明：任取，且，

，即

在上为减函数

（3）,,

对任意，存在，使得成立，

即存在，使得，

当时，为增函数或常函数，

此时，则有恒成立

当时，

当时，

综上所述：.