Question

（本小题14分）某人有楼房一幢，室内面积共计180m²，拟分割成两类房间作为旅游客房，大房间每间面积为18m²，可住游客5名，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积为15m²，可以住游客3名，每名游客每天住宿费50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元.如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，每天能获得最大的房租收益？（注：设分割大房间为x间，小房间为y间，每天的房租收益为z元）
（1）写出x,y所满足的线性约束条件；  
（2）写出目标函数的表达式；
（3）求x,y各为多少时，每天能获得最大的房租收益？每天能获得最大的房租收益是多少？

Answer 1

(1)  
（2） 
（3）当大房间为3间，小房间为8间或大房间为0间，小房间为12间时，可获最大的收益为1800元.

试题分析：先设分割大房间为x间，小房间为y间，收益为z元，列出约束条件，再根据约束条件画出可行域，设z=200x+150y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=200x+150y过可行域内的整数点时，从而得到z值即可．
设分割大房间为x间，小房间为y间，收益为z元

根据题意得：
(1)  .........3分
（2）                     ............6分
（3）作出约束条件表示的平面区域          ............9分
把目标函数化为
平移直线，直线越往上移，z越大，
所以当直线经过M点时，z的值最大，
解方程组得，
因为最优解应该是整数解，通过调整得，当直线过和时z最大.........13分
所以当大房间为3间，小房间为8间或大房间为0间，小房间为12间时，可获最大的收益为1800元.                                                          ............14分
点评：在解决线性规划的应用题时，其步骤为：①分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件⇒②由约束条件画出可行域⇒③分析目标函数Z与直线截距之间的关系⇒④使用平移直线法求出最优解⇒⑤还原到现实问题中．