Question

（2013•朝阳区一模）已知函数f（x）=x²-（a+2）x+alnx+2a+2，其中a≤2．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在（0，2]上有且只有一个零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）先求函数的定义域再求函数的导数，当导数大于0时函数单调递增，当导数小于0时单调递减．
（II）此题考查的是函数的零点存在问题．在解答的过程当中要先结合函数f（x）在区间（0，2]内有且只有一个零点的条件，结合（I）中确定函数的增减区间，求出函数的极小值和极大值，再转化出不等关系，利用此不等关系即可获得问题的解答．

解答：解：（I）函数定义域为x＞0，且f′（x）=2x-（a+2）+

a

x

=

(2x-a)(x-1)

x

…（2分）
①当a≤0，即

a

2

≤0时，令f'（x）＜0，得0＜x＜1，函数f（x）的单调递减区间为（0，1），
令f'（x）＞0，得x＞1，函数f（x）的单调递增区间为（1，+∞）．
②当0＜

a

2

＜1，即0＜a＜2时，令f'（x）＞0，得0＜x＜

a

2

或x＞1，
函数f（x）的单调递增区间为(0，

a

2

)，（1，+∞）．
令f'（x）＜0，得

a

2

＜x＜1，函数f（x）的单调递减区间为(

a

2

，1)．
③当

a

2

=1，即a=2时，f'（x）≥0恒成立，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．…（7分）
（Ⅱ）①当a≤0时，由（Ⅰ）可知，函数f（x）的单调递减区间为（0，1），f（x）在（1，2]单调递增．
所以f（x）在（0，2]上的最小值为f（1）=a+1，
由于f(

1

e2

)=

1

e4

-

2

e2

-

a

e2

+2=(

1

e2

-1)2-

a

e2

+1＞0，
要使f（x）在（0，2]上有且只有一个零点，
需满足f（1）=0或

f(1)＜0 f(2)＜0

解得a=-1或a＜-

2

ln2

．
②当0＜a≤2时，由（Ⅰ）可知，
（ⅰ）当a=2时，函数f（x）在（0，2]上单调递增；
且f(e-4)=

1

e8

-

4

e4

-2＜0，f(2)=2+2ln2＞0，所以f（x）在（0，2]上有且只有一个零点．
（ⅱ）当0＜a＜2时，函数f（x）在(

a

2

，1)上单调递减，在（1，2]上单调递增；
又因为f（1）=a+1＞0，所以当x∈(

a

2

，2]时，总有f（x）＞0．
因为e -

2a+2

a

＜1＜a+2，
所以f（e -

2a+2

a

）=e -

2a+2

a

[e -

2a+2

a

-（a+2）]+（alne -

2a+2

a

+2a+2）＜0．
所以在区间（0，

a

2

）内必有零点．又因为f（x）在（0，

a

2

）内单调递增，
从而当0＜a≤2时，f（x）在（0，2]上有且只有一个零点．
综上所述，0＜a≤2或a＜-

2

ln2

或a=-1时，f（x）在（0，2]上有且只有一个零点．…（13分）

点评：此题考查的是利用导数研究函数的单调性，函数的零点存在问题．在解答的过程当中充分体现了等价转化的思想，以及零点定理的相关知识．值得同学们体会反思．