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    精英家教网如图，已知点A（0，-3），动点P满足|PA|=2|PO|，其中O为坐标原点．
    （Ⅰ）求动点P的轨迹方程．
    （Ⅱ）记（Ⅰ）中所得的曲线为C．过原点O作两条直线l1：y=k1x，l2：y=k2x分别交曲线C于点E（x1，y1）、F（x2，y2）、G（x3，y3）、H（x4，y4）（其中y2＞0，y4＞0）．求证：
    k1x1x2
    x1+x2
    =
    k2x3x4
    x3+x4
    ；
    （III）对于（Ⅱ）中的E、F、G、H，设EH交x轴于点Q，GF交x轴于点R．求证：|OQ|=|OR|．（证明过程不考虑EH或GF垂直于x轴的情形）
    分析：（1）设点P的坐标为（x，y），进而表示出|PA|和|PO|，根据|PA|=2|PO|，求的点P的轨迹方程．
    （2）将直线EF和GH的方程分别代入圆C方程，利用韦达定理分别求得交点横坐标之和与之积，进而代入
    k1x1x2
    x1+x2
    和
    k2x3x4
    x3+x4
    ，证明原式．
    （3）设点Q（q，0），点Q（r，0），由E、Q、H三点共线求得q的表达式，根据F、R、G三点共线求得r的表达式，进而根据（2）中的
    k1x1x2
    x1+x2
    =
    k2x3x4
    x3+x4
    整理得
    (k1-k2)x2x3
    k1x2-k2x3
    +
    (k1-k2)x1x4
    k1x1-k2x4
    =0    ，进而可知q+r=0，所以|q|=|r|，即|OQ|=|OR|．
    解答：精英家教网解：（Ⅰ）设点P（x，y），依题意可得
    		x2+(y+3)2
    =2
    		x2+y2

    整理得x2+y2-2y-3=0
    故动点P的轨迹方程为x2+y2-2y-3=0．
    （Ⅱ）将直线EF的方程y=k1x代入圆C方程
    整理得（k12+1）x2-2k1x-3=0
    根据根与系数的关系得x1+x2=
    2k1
    k12+1
    ，x1x2=-
    3
    k12+1
    ①
    将直线GH的方程y=k2x代入圆C方程，
    同理可得x3+x4=
    2k2
    k22+1
    ，x3x4=-
    3
    k22+1
    ②
    由①、②可得
    k1x1x2
    x1+x2
    =-
    3
    2
    =
    k2x3x4
    x3+x4
    ，所以结论成立．
    （Ⅲ）设点Q（q，0），点Q（r，0），由E、Q、H三点共线
    得
    x1-q
    k1x1
    =
    x4-q
    k2x4
    ，解得q=
    (k1-k2)x1x4
    k1x1-k2x4

    由F、R、G三点共线
    同理可得r=
    (k1-k2)x2x3
    k1x2-k2x3

    由
    k1x1x2
    x1+x2
    =
    k2x3x4
    x3+x4
    变形得
    x2x3
    k1x2-k2x3
    =
    -x1x4
    k1x1-k2x4

    即
    (k1-k2)x2x3
    k1x2-k2x3
    +
    (k1-k2)x1x4
    k1x1-k2x4
    =0    ，
    从而q+r=0，所以|q|=|r|，即|OQ|=|OR|．
    点评：本题主要考查了圆方程得综合应用．涉及直线与圆的关系常需要把直线方程与圆方程联立，利用韦达定理来解决问题．
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