Question

15．设数列S_n为数列{a_n}的前n项和，且S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹，n=1，2，3…
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设${b_n}={log_{\frac{a_n}{n+1}}}$2，数列{b_n}的前n项和B_n，若存在整数m，使得对任意n∈N^*且n≥2都有B_3n-B_n＞$\frac{m}{20}$成立，求m的最大值
（Ⅲ）设C_n=$\frac{a_n}{n+1}$-1，证明：$\frac{1}{{C}_{2}}$+$\frac{1}{{C}_{3}}$+…+$\frac{1}{{C}_{n+1}}$＜$\frac{2}{3}$（n∈N^*）

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用a_n=S_n-S_n-1，计算整理可得${a_n}-2{a_{n-1}}={2^n}$，两边同时除以2ⁿ，可得数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}的公差，进而可得结论；
（Ⅱ）通过${a_n}=（n+1）•{2^n}$，利用对数的运算性质可得b_n=$\frac{1}{n}$，记f（n）=${B_{3n}}-{B_n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+…+\frac{1}{3n}$，利用放缩法可得f（n+1）-f（n）＞0，进而可知当n≥2时，f（n）的最小值为f（2），计算即得结论；
（Ⅲ）通过${C_n}=\frac{a_n}{n+1}-1={2^n}-1$，利用放缩法可得$\frac{1}{{C}_{n}}$＜$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{{C}_{n-1}}$，设$S=\frac{1}{C_2}+\frac{1}{C_3}+…+\frac{1}{{{C_{n+1}}}}$，则$S＜\frac{1}{C_2}+\frac{1}{2}（\frac{1}{C_2}+\frac{1}{C_3}…+\frac{1}{C_n}）=\frac{1}{C_2}+\frac{1}{2}（S-\frac{1}{{{C_{n+1}}}}）$，进而可得结论．

解答 （Ⅰ）解：∵S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹，
∴S_n-1=2a_n-1-2ⁿ（n≥2），
两式相减得：a_n=2a_n-2a_n-1-2ⁿ，
∴${a_n}-2{a_{n-1}}={2^n}$，
两边同时除以2ⁿ，可得：$\frac{a_n}{2^n}-\frac{{{a_{n-1}}}}{{{2^{n-1}}}}=1$，
又∵${a_1}={S_1}=2{a_1}-{2^2}$，
∴a₁=4，$\frac{{a}_{1}}{2}$=2，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=2+（n-1）=n+1，
∴${a_n}=（n+1）•{2^n}$；
（Ⅱ）解：∵${a_n}=（n+1）•{2^n}$，
∴${b_n}={log_{\frac{a_n}{n+1}}}$2=$lo{g}_{{2}^{n}}2$=$\frac{1}{n}$，
∴${B_{3n}}-{B_n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+…+\frac{1}{3n}$，
令$f（n）=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+…+\frac{1}{3n}$，
则f（n+1）-f（n）=$\frac{1}{3n+1}$+$\frac{1}{3n+2}$+$\frac{1}{3n+3}$-$\frac{1}{n+1}$
=$\frac{1}{3n+1}$+$\frac{1}{3n+2}$-$\frac{2}{3n+3}$
＞$\frac{1}{3n+3}$+$\frac{1}{3n+3}$-$\frac{2}{3n+3}$
=0，
即f（n+1）＞f（n），
∴数列f（n）为递增数列，
当n≥2时，f（n）的最小值为$f（2）=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}=\frac{19}{20}$，
由题意知$\frac{m}{20}＜\frac{19}{20}$，
∴m＜19，
∴m的最大整数值为18；
（Ⅲ）证明：∵${C_n}=\frac{a_n}{n+1}-1={2^n}-1$，
∴$\frac{1}{C_n}=\frac{1}{{{2^n}-1}}＜\frac{1}{{{2^n}-2}}=\frac{1}{2}•\frac{1}{{{C_{n-1}}}}$，
设$S=\frac{1}{C_2}+\frac{1}{C_3}+…+\frac{1}{{{C_{n+1}}}}$，
则$S＜\frac{1}{C_2}+\frac{1}{2}（\frac{1}{C_2}+\frac{1}{C_3}…+\frac{1}{C_n}）=\frac{1}{C_2}+\frac{1}{2}（S-\frac{1}{{{C_{n+1}}}}）$，
即$S＜\frac{2}{C_2}-\frac{1}{{{C_{n+1}}}}=\frac{2}{3}-\frac{1}{{{C_{n+1}}}}＜\frac{2}{3}$．

点评 本题是一道关于数列的综合题，考查通项、对数的运算性质、放缩法等基础知识，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．