Question

【题目】如图，已知圆，点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于.

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）设直线与（Ⅰ）中轨迹相交于，两点，直线，，的斜率分别为，，（其中），的面积为，以，为直径的圆的面积分别为，，若，，恰好构成等比数列，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）连接，根据题意，，可得，故动点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆．解出即可；（2）设直线的方程为，，．与椭圆的方程联立可得，利用根与系数的关系及其，，构成等比数列，可得，解得，．利用，解得，且．利用

，可得为定值．代入利用基本不等式的性质即可得出的取值范围．

试题解析：（1）连接，根据题意，，则，

故动点的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆.

设其方程为，可知，，则，

∴点的轨迹的方程为.

（2）设直线的方程为，，.

联立，化为，

∴，，.

∵，，构成等比数列，∴，化为，

∴，解得.∵，∴.

此时，解得.

又由、、三点不共线得，从而.

故，

又，则

为定值.

∴，当且仅当时等号成立.

综上：.