Question

在直角坐标系XOY中，已知点A（1，0），B（-1，0），C（0，1），D（0，-1），动点M满足

AM

•

BM

=m（

CM

•

DM

-|

OA

-

OM

|），其中m是参数（m∈R）
（I）求动点M的轨迹方程，并根据m的取值讨论方程所表示的曲线类型；
（II）当动点M的轨迹表示椭圆或双曲线，且曲线与直线l：y=x+2交于不同的两点时，求该曲线的离心率的取值范围．

Answer 1

分析：（I）设M（x，y），利用题目中向量的坐标运算，求得向量的坐标后代入题中向量条件，化简即得轨迹方程，为了说明它是什么类型，必须对参数m进行讨论；
（II）将直线的方程代入圆锥曲线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根的判别式求得m的范围，再分类讨论：（1）m＞1且m≠2时，（2）当m＜-2时，分别求出该圆锥曲线的离心率e的取值范围即可．

解答：解：（I）设动点M的坐标为（x，y）
由题意得

AM

=（x-1，y），

BM

=（x+1，y）

CM

=（x，y-1），

DM

=（x，y+1），

OM

=（x，y）
∴

AM

•

BM

=x²-1+y²，

CM

•

DM

-|

OA

-

OM

|2=x²+y²-1=y²-1
化简得动点M的轨迹方程为x²+（1-m）y²=1-m
当m=1时，x²=0，即x=0，动点M的轨迹是一条直线；
当m≠1时，方程可以化为：

x2

1-m

+y2=1
此时，当m=0时，动点M的轨迹是一个圆；
当m＜0，或0＜m＜1时，动点M的轨迹是一个椭圆
当m＞1时，动点M的轨迹是一条双曲线
（II）当m≠1且m≠0时，由

y=x+2 x2 1-m +y2=1

得x²+（1-m）（x²+4x+4）=1-m∴（2-m）x²+4（1-m）x+3（1-m）=0
∵l与该圆锥曲线交于不同的两个点∴

2-m≠0 △=16(1-m)2-4(2-m)•3(1-m)＞0

即

m≠2 (m-1)(m+2)＞0

∴m＞1且m≠2或m＜-2
（1）m＞1且m≠2时，圆锥曲线表示双曲线y2-

x2

m-1

=1
其中，a²=1，b²=m-1，c²=m∴e=

c

a

=

m

＞1且e≠

2

（2）当m＜-2时，该圆锥曲线表示椭圆：

x2

1-m

+y2=1
其中a²=1-m，b²=1，c²=-m∵e2=

c2

a2

=

-m

1-m

=1+

1

m-1

，e2∈(

2

3

，1)∴e∈(

6

3

，1)
综上：该圆锥曲线的离心率e的取值范围是(

6

3

，1)∪(1，

2

)∪(

2

，+∞)．

点评：本题主要考查了轨迹方程的问题、直线与圆锥曲线的综合问题、向量的坐标运算，考查分类讨论思想以及等价转化能力．