Question

下列命题：
①若f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，且在[-1，0]上是增函数，θ∈(

π

4

，

π

2

)，则f（sinθ）＞f（cosθ）．
②若锐角α、β满足cosα＞sinβ，则α+β＜

π

2

．
③若f(x)=2cos2

x

2

-1，则f(x+π)=f(x)对x∈R恒成立．
④要得到函数y=sin(

x

2

-

π

4

)的图象，只需将y=sin

x

2

的图象向右平移

π

4

个单位．
其中真命题的个数有（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：对于①，联系偶函数和增函数得到函数在[0，1]上为减函数后即可解决；
对于②，cosα＞sinβ，化成同名三角函数后利用三角函数的单调性即可解决；
③f（x）=2cos²

x

2

-1=cosx，根据三角函数的周期性解决；
④函数y=sin（

x

2

-

π

4

）的中x的系数

1

2

，要引起特别注意，它对平移变换的量产生影响．

解答：解析：①由已知可得函数在[0，1]上为减函数，
且由于θ∈（

π

4

，

π

2

）⇒1＞sinθ＞cosθ＞0，
故有f（sinθ）＜f（cosθ），故①错；
②由已知角的范围可得：cosα＞sinβ=cos（

π

2

-β）⇒α＜

π

2

-β⇒α+β＜

π

2

，
故②正确；
③错，因为易知f（x）=cosx，其周期为2π，故应有f（x）=f（x+2π）恒成立，
④错，应向右平移

π

2

个单位得到．
故其中真命题的是：②．
故选A．

点评：本题是一道综合题，考查了函数的性质和三角函数中的二倍角公式以及三角函数图象的变换等．