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若二次函数f(x)=ax2-4x+c的值域为[0,+∞),则
a
c2+4
+
c
a2+4
的最小值为
 
分析:由题意可知,a>0,△=0,从而求出ac=4,将所求式子中的4代换成ac,利用裂项法进行整理,进而利用均值不等式求出最小值.
解答:解:∵二次函数f(x)=ax2-4x+c(x∈R)的值域为[0,+∞),
∴a>0,△=16-4ac=0,
∴a>0,c>0,ac=4,
a
c2+4
+
c
a2+4

=
a
c2+ac
+
c
a2+ac

=
a
c(a+c)
+
c
a(a+c)

=
1
c
-
1
a+c
+
1
a
-
1
a+c

=
1
a
+
1
c
-
2
a+c

≥2
1
ac
-
2
2
ac
=
1
2

当且仅当a=c=2时取等号.
故答案为
1
2
点评:利用基本不等式求函数最值是高考考查的重点内容,对不符合基本不等式形式的应首先变形,然后必须满足三个条件:一正、二定、三相等.同时注意裂项法的运用.
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12
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