Question

在平面直角坐标系中，曲线y=-x²-2x+8与坐标轴的交点都在圆C上．
（1）求圆C的方程；
（2）如果圆C与直线2x-y+a=0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．

Answer 1

考点：圆与圆锥曲线的综合

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）可设出圆的一般式方程，利用曲线与方程的对应关系，根据同一性直接求出参数，
（2）利用设而不求思想设出圆C与直线x-y+a=0的交点A，B坐标，通过OA⊥OB建立坐标之间的关系，结合韦达定理寻找关于a的方程，通过解方程确定出a的值．

解答： 解：（1）设圆x²+y²+Dx+Ey+F=0
x=0，y=8，有64+8E+F=0
y=0，-x² -2x+8=0与x²+Dx+F=0是同一方程，故有D=2，F=-8，E=-7，
即圆方程为x²+y²+2x-7y-8=0．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其坐标满足方程组

2x-y+a=0 x2+y2+2x-7y-8=0

，消去y，得到方程5x²+（4a-12）x+a²-7a-8=0，
由已知可得判别式△=304+44a-4a²＞0．
在此条件下利用根与系数的关系得到x₁+x₂=

12-4a

5

，x₁x₂=

a2-7a-8

5

①，
由于OA⊥OB可得x₁x₂+y_1^y2=0，又y₁=2x₁+a，y₂=2x₂+a，所以可得5x₁x₂+2a（x₁+x₂）+a²=0②
由①②可得2a²-35a-40=0，
解得a=8或a=-

5

2

，此时满足△＞0．
∴a=8或a=-

5

2

．

点评：本题考查圆的方程的求解，考查学生的待定系数法，考查学生的方程思想，直线与圆的相交问题的解决方法和设而不求的思想，考查垂直问题的解决思想，考查学生分析问题解决问题的能力，属于直线与圆的方程的基本题型．