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    下列命题：
    ①函数y=
    x-1
    x+1
    的单调区间是（-∞，-1）∪（-1，+∞）．
    ②函数f（x）=|x|•（|x|+|2-x|）-1有2个零点．
    ③已知函数f（x）=ex-mx+1的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y=
    1
    2
    x垂直的切线，则实数m的取值范围是m＞2．
    ④若函数f（x）=
    (3a-1)x+4a(x＜1)
    logax    (x≥1)
    对任意的x1≠x2都有
    f(x2)-f(x1)
    x2-x1
    ＜0    ，则实数a的取值范围是（-
    1
    7
    ，1]．
    其中正确命题的序号为
    ②③
    ②③
    ．
    分析：①函数y=
    x-1
    x+1
    （x≠-1），只讨论在（-∞，-1）和（-1，+∞）的单调性；
    ②去掉f（x）中的绝对值，在每一个区间上讨论f（x）的零点情况；
    ③求出曲线C：f（x）的导数，即C的切线斜率，因与直线y=
    1
    2
    x垂直，可得m的取值范围；
    ④由命题知f（x）是减函数，从而讨论a的取值即可．
    解答：解：①∵函数y=
    x-1
    x+1
    =1-
    2
    x+1
    在区间（-∞，-1）和（-1，+∞）都是增函数，但在（-∞，-1）∪（-1，+∞）上不是增函数，∴命题①错误；
    ②∵f（x）=|x|•（|x|+|2-x|）-1=
    2x2-2x-1  (x≥2)
    2x-1     (0＜x＜2)
    2x2-2x-1(x≤0)
    ，∴当x≥2时，f（x）无零点，当0＜x＜2时，f（x）有1个零点，当x≤0时，f（x）有1个零点，∴命题②正确；
    ③∵曲线C的方程：f（x）=ex-mx+1，∴f，（x）=ex-m，由曲线C的切线与直线y=
    1
    2
    x垂直，得（ex-m）•
    1
    2
    =-1，∴m=ex+2＞2，∴命题③正确；
    ④∵f（x）=
    (3a-1)x+4a(x＜1)
    logax    (x≥1)
    ，对任意的x1≠x2都有
    f(x2)-f(x1)
    x2-x1
    ＜0    ，∴f（x）是减函数，即当x＜1时，有3a-1＜0，∴a＜
    1
    3
    ，当x≥1时，0＜a＜1；∴命题④错误．
    综上正确命题的序号为②③．
    故答案为：②③．
    点评：本题通过命题真假的判定，考查了函数与导数知识的综合应用，是容易出错的题目
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    给出下列命题：
    ①函数y=sin(
    5π
    2
    -2x)    是偶函数；
    ②函数y=sin(x+
    π
    4
    )    在闭区间[-
    π
    2
    ，
    π
    2
    ]    上是增函数；
    ③直线x=
    π
    8
    是函数y=sin(2x+
    5π
    4
    )    图象的一条对称轴；
    ④若cosx=-
    1
    3
    ，x∈(0，2π)    ，则x=arcos（-
    1
    3
    ）或π+arcos（-
    1
    3
    ）
    其中正确的命题的序号是：
    ①③
    ①③
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    关于函数f(x)=lg
    x2+1|x|
    (x≠0，x∈R)    有下列命题：
    ①函数y=f（x）的图象关于y轴对称；
    ②在区间（-∞，0）上，函数y=f（x）是减函数；
    ③函数f（x）的最小值为lg2；
    ④在区间（1，∞）上，函数f（x）是增函数．
    其中正确命题序号为
    ①③④
    ①③④
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知下列命题：
    ①函数y=sin(-2x+
    π
    3
    )    的单调增区间是[-kπ-
    π
    12
    ，-kπ+
    5π
    12
    ](k∈Z)    ．
    ②要得到函数y=cos(x-
    π
    6
    )    的图象，需把函数y=sinx的图象上所有点向左平行移动
    π
    3
    个单位长度．
    ③已知函数f（x）=2cos2x-2acosx+3，当a≤-2时，函数f（x）的最小值为g（a）=5+2a．
    ④y=sinwx（w＞0）在[0，1]上至少出现了100次最小值，则w≥
    399
    2
    π    ．
    其中正确命题的序号是
    ②③④
    ②③④
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    给出下列命题：
    ①函数y=f（x-2）与函数y=f（2-x）的图象关于x=2对称；
    ②函数y=f（x）导函数为y=f′（x），若f′（x0）=0，则f（x0）必为函数y=f（x）的极值；
    ③函数y=sinx在一象限单调递增；
    ④y=tanx在其定义域内为单调增函数．
    其中正确的命题序号为
    ①
    ①
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    关于函数f（x）=sin2x-cos2x有下列命题：
    ①函数y=f（x）的周期为π；                
    ②直线x=
    π
    4
    是y=f（x）图象的一条对称轴；
    ③点(
    π
    8
    ，0)    是y=f（x）图象的一个对称中心；
    ④(-
    π
    8
    ，
    3π
    8
    )    是函数y=f（x）的一个单调递减区间．
    其中真命题的序号是
    ①③
    ①③
    ．

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