Question

（2011•惠州模拟）已知函数y=sin4x+2

3

sinxcosx-cos4x．
（1）求该函数的最小正周期和最小值；
（2）若x∈[0，π]，求该函数的单调递增区间．

Answer 1

分析：（1）将函数解析式第二项利用二倍角的正弦函数公式化简，第一、三项利用平方差公式分解因式后利用同角三角 函数间的基本关系及二倍角的余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式T=

2π

|ω|

，即可求出函数的最小正周期；由正弦函数的值域得出函数的值域，即可确定出函数的最小值；
（2）由正弦函数的单调增区间[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]，列出关于x的不等式，求出不等式的解集，令解集中k=0和1，得到x的范围，与x∈[0，π]取交集，即可得到该函数的单调递增区间．

解答：解：（1）y=sin⁴x+2

3

sinxcosx-cos⁴x
=

3

sin2x+（sin⁴x-cos⁴x）
=

3

sin2x+（sin²x+cos²x）（sin²x-cos²x）
=

3

sin2x-cos2x=2sin（2x-

π

6

），…（4分）
∵ω=2，∴T=π，
又-1≤sin（2x-

π

6

）≤1，∴-2≤2sin（2x-

π

6

）≤2，
则y_min=-2；…（6分）
（2）令2kπ-

π

2

≤2x-

π

2

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
则kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，k∈Z，…（8分）
令k=0，1，得到x∈[-

π

6

，

π

3

]或x∈[

5π

6

，

4π

3

]，…（10分）
与x∈[0，π]取交集，得到x∈[0，

π

3

]或x∈[

5π

6

，π]，
则当x∈[0，π]时，函数的递增区间是x∈[0，

π

3

]和x∈[

5π

6

，π]．…（12分）

点评：此题考查了三角函数的周期性及其求法，三角函数中的恒等变换应用，以及正弦函数的单调性，涉及的知识有：二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．