【题目】某校高二奥赛班N名学生的物理测评成绩(满分120分)分布直方图如图,已知分数在100~110的学生数有21人. (Ⅰ)求总人数N和分数在110~115分的人数n;
(Ⅱ)现准备从分数在110~115分的n名学生(女生占 )中任选2人,求其中恰好含有一名女生的概率;
(Ⅲ)为了分析某个学生的学习状态,对其下一阶段的学习提供指导性建议,对他前7次考试的数学成绩x(满分150分),物理成绩y进行分析,下面是该生7次考试的成绩.
数学 | 88 | 83 | 117 | 92 | 108 | 100 | 112 |
物理 | 94 | 91 | 108 | 96 | 104 | 101 | 106 |
已知该生的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的,若该生的数学成绩达到130分,请你估计他的物理成绩大约是多少?
附:对于一组数据(u1 , v1),(u2 , v2),,(un , vn),其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为 .
【答案】解:(Ⅰ)分数在100~110内的学生的频率为
P1=(0.04+0.03)×5=0.35,(1分)
所以该班总人数为 ;
分数在110~115内的学生的频率为
P2=1﹣(0.01+0.04+0.05+0.04+0.03+0.01)×5=0.1,
分数在110~115内的学生的人数为n=60×0.1=6;
(Ⅱ)由题意分数在110~115内有6名学生,其中女生有2名,
设男生为A1,A2,A3,A4,女生为B1,B2,
从6名学生中选出2人的基本事件为
(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,B1),(A1,B2),
(A2,A3),(A2,A4),(A2,B1),(A2,B2),
(A3,A4),(A3,B1),(A3,B2),
(A4,B1),(A4,B2),(B1,B2),共15个;
其中恰好含有一名女生的基本事件为
(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),
(A3,B1),(A3,B2),(A4,B1),(A4,B2),共8个;
所以所求的概率为 ;
(Ⅲ)计算 ,
,
由于x与y之间具有线性相关关系,根据回归系数公式得到
;
所以线性回归方程为 ;
当x=130时,计算 ,
所以估计他的物理成绩大约是115分.
【解析】(Ⅰ)根据频率、频数与样本容量的关系,求出对应的数值;(Ⅱ)由题意用列举法计算基本事件数,求所求的概率值;(Ⅲ)求平均数和回归系数,写出线性回归方程,利用方程求x=130时 的值.
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【题目】我国是世界上严重缺水的国家之一,城市缺水问题较为突出.某市政府为了鼓励居民节约用水,计划调整居民生活用水收费方案,拟确定一个合理的月用水量标准x(吨),一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费,超出x的部分按议价收费.为了了解居民用水情况,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5)分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图. (Ⅰ)求直方图中a的值;
(Ⅱ)若该市有110万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,请说明理由;
(Ⅲ)若该市政府希望使80%的居民每月的用水量不超过标准x(吨),估计x的值(精确到0.01),并说明理由.
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【题目】已知a∈R,函数f(x)=log2( +a).
(1)当a=1时,解不等式f(x)>1;
(2)若关于x的方程f(x)+log2(x2)=0的解集中恰有一个元素,求a的值;
(3)设a>0,若对任意t∈[ ,1],函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值与最小值的差不超过1,求a的取值范围.
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【题目】某校从参加考试的学生中抽出60名学生,将其成绩(均为整数)分成六组[40,50),[50,60)[90,100]后,画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息,回答下列问题:
(Ⅰ) 求成绩落在[70,80)上的频率,并补全这个频率分布直方图;
(Ⅱ) 估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分;
(Ⅲ) 设学生甲、乙的成绩属于区间[40,50),现从成绩属于该区间的学生中任选两人,求甲、乙中至少有一人被选的概率.
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【题目】若函数y=ksin(kx+φ)(k>0,|φ|< )与函数y=kx﹣k2+6的部分图象如图所示,则函数f(x)=sin(kx﹣φ)+cos(kx﹣φ)图象的一条对称轴的方程可以为( )
A.x=﹣
B.x=
C.x=
D.x=﹣
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【题目】在公差大于0的等差数列{an}中,2a7﹣a13=1,且a1 , a3﹣1,a6+5成等比数列,则数列{(﹣1)n﹣1an}的前21项和为( )
A.21
B.﹣21
C.441
D.﹣441
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,过点P(﹣5,a)作圆x2+y2﹣2ax+2y﹣1=0的两条切线,切点分别为M(x1 , y1),N(x2 , y2),且 + =0,则实数a的值为 .
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【题目】如图,已知椭圆C: =1(a>b>0)的离心率为 ,以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T:(x+2)2+y2=r2(r>0),设圆T与椭圆C交于点M与点N.
(1)求椭圆C的方程;
(2)求 的最小值,并求此时圆T的方程;
(3)设点P是椭圆C上异于M,N的任意一点,且直线MP,NP分别与x轴交于点R,S,O为坐标原点,求证:|OR||OS|为定值.
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