Question

已知椭圆C：的一条准线方程为l：x=-，且左焦点F到的l距离为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点F的直线交椭圆C于两点A、B、交l于点M，若，，证明λ₁+λ₂为定值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用准线方程求得a和c的关系式，左焦点F到的l距离求得a和c的另一关系式，进而与a²=b²+c²联立方程求得a，b，则椭圆的方程可得．
（Ⅱ）先看当斜率为0时，可求得A，B和M的坐标，则λ₁+λ₂可求得；再看当斜率不为0时，可设直线AB方程与椭圆的方程联立，求得y₁+y₂和y₁y₂的表达式，分别求得λ₁和λ₂的表达式，则λ₁+λ₂的值可求．
解答：解：（Ⅰ）依题意有，解方程组得
∴椭圆C的方程为+y²=1．
（Ⅱ）依题意可知直线AB的斜率存在，
当斜率为0时，直线y=0和椭圆交于A（-，0），B（，0），和直线l交于M（-，0）点，
则易知λ₁+λ₂=0．
当斜率不为0时，可设直线AB方程为x=my-2（m≠0），
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（-，-），由得（m²+5）y²-4my-1=0，
由根与系数的关系得y₁+y₂=，y₁y₂=-，
又∵∴y₁+=-λ₁y₁，λ₁=--1，同理λ₂=--1
∴λ₁+λ₂=-2-•=-2-（-4m）=0
∴λ₁+λ₂为定值
综上所述λ₁+λ₂为定值
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系．直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，平时应作为重点来复习．