Question

已知圆C：（x-3）²+（y-4）²=4，
（1）直线l₁过定点A （1，0）．若l₁与圆C相切，求l₁的方程；
（2）直线l₂过B（2，3）与圆C相交于P，Q两点，求线段PQ的中点M的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）通过切线的斜率垂直与不存在分别推出直线方程，利用圆心到直线的距离公式等于半径即可求解l₁的方程；
（2）设出线段PQ的中点M的坐标，利用圆的圆心与弦垂直，通过斜率乘积为-1，即可求出M的轨迹方程．

解答：解：（1）①若直线l₁的斜率不存在，则直线方程为x=1，符合题意；
②若直线l₁斜率存在，设直线l₁的方程为y=k（x-1），即kx-y-k=0．
由题意知，圆心（3，4）到已知直线l₁的距离等于半径2，
即：

|3k-4-k|

k2+1

=2，解之得 k=

3

4

．
所求直线l₁的方程为x=1或3x-4y-3=0．
（2）设M（x，y）由题意可知MC⊥MB，
因为C（3，4），B（2，3）
∴

y-4

x-3

•

y-3

x-2

=-1
整理得（x-

5

2

）²+（y-

7

2

）²=

1

2

，
线段PQ的中点M的轨迹方程：（x-

5

2

）²+（y-

7

2

）²=

1

2

．

点评：本题考查直线与圆相切的直线方程的求法，注意斜率是否存在，点到直线的距离公式的应用，直线的垂直关系的应用，考查计算能力，转化思想．