Question

已知函数f（x）=（x-1）²，数列{a_n}是公差为d的等差数列，{b_n}是公比为q（q∈R，q≠1）的等比数列．若a₁=f（d-1），a₃=f（d+1），b₁=f（q-1），b₃=f（q+1）．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{c_n}对任意自然数n均有

c1

b1

+

c2

2b2

+

c3

3b3

+…+

cn

nbn

=an+1，求c₁+c₃+c₅+…+c_2n-1的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由于数列{a_n}是公差为d的等差数列，可由a₃-a₁=2d，∴f（d+1）-f（d-1）=2d．
即 d²-（d-2）²=2d，解得 d的值，从而写出{a_n}的通项公式；同理

b3

b1

=q2，解得q的值，从而写出{b_n}的通项公式．
（Ⅱ） 由题设知 

c1

b1

=a2，∴c₁=a₂b₁=2．
当n≥2时，

c1

b1

+

c2

2b2

+

c3

3b3

+…+

cn-1

(n-1)bn-1

+

cn

nbn

=an+1，

c1

b1

+

c2

2b2

+

c3

3b3

+…+

cn-1

(n-1)bn-1

=an，
两式相减，得

cn

nbn

=an+1-an=2．
∴c_n=2nb_n=2n•3^n-1（c₁=b₁a₂=2适合）．
再利用错位相消法计算化简得出c₁+c₃+c₅+…+c_2n-1的值

解答：解：（Ⅰ）由于数列{a_n}是公差为d的等差数列，
∴a₃-a₁=2d，∴f（d+1）-f（d-1）=2d；即 d²-（d-2）²=2d，解得 d=2．
∴a₁=f（2-1）=0，a_n=2（n-1）；
由于{b_n}是公比为q（q∈R，q≠1）的等比数列
∴

b3

b1

=q2，∴

f(q+1)

f(q-1)

=q2=

q2

(q-2)2

；
∵q≠0，q≠1，∴q=3．
又b₁=f（q-1）=1，∴b_n=3^n-1
（Ⅱ） 由题设知 

c1

b1

=a2，∴c₁=a₂b₁=2；
当n≥2时，

c1

b1

+

c2

2b2

+

c3

3b3

+…+

cn-1

(n-1)bn-1

+

cn

nbn

=an+1，

c1

b1

+

c2

2b2

+

c3

3b3

+…+

cn-1

(n-1)bn-1

=an，
两式相减，得

cn

nbn

=an+1-an=2；
∴c_n=2nb_n=2n•3^n-1（c₁=b₁a₂=2适合）．
设T=c₁+c₃+c₅+…+c_2n-1，
∴T=2+6×3²+10×3⁴+…+（4n-2）•3^2n-23²T
=2×3²+6×3⁴+10×3⁶+…+（4n-6）•3^2n-2+（4n-2）•3²ⁿ
两式相减，得-8T=2+4×3²+4×3⁴+…+4×3^2n-2-（4n-2）•3²ⁿ
=2+4×

9(9n-1-1)

9-1

-(4n-2)•9n
=2+

1

2

×9n-

9

2

-(4n-2)×9n
=-

5

2

+

5

2

×9n-4n•9n．
∴T=

5

16

+(

n

2

-

5

16

)•32n．

点评：本题考查等差数列、等比数列通项公式、错位相消法求和．考查构造转化、计算能力．