Question

某人在山顶观察地面上相距2 500 m的A、B两个目标，测得目标A在南偏西57°，俯角为30°，同时测得B在南偏东78°，俯角是45°，求山高（设A、B与山底在同一平面上，计算结果精确到0.1 m）．

Answer 1

分析：设山高PQ，则，∠PAQ和∠PBQ可知，然后在△APQ、△BPQ中表示出AQ，BQ，求∠AQB和AB，最后利用余弦定理求得关于h的一元二次方程求得h．

解答：解：画出示意图（如图所示）
设山高PQ=h，则△APQ、△BPQ均为直角三角形，
在图（1）中，∠PAQ=30°，∠PBQ=45°．
∴AQ=

PQ

tan30°

=

3

h，BQ=

PQ

tan45°

=h．
在图（2）中，
∠AQB=57°+78°=135°，AB=2500，
所以由余弦定理得：
AB²=AQ²+BQ²-2AQ•BQcos∠AQB，
即2500²=（

3

h）²+h²-2

3

h•h•cos135°=（4+

6

）h²，
∴h=

2500

4+ 6

≈984.4（m）．
答：山高约984.4m．

点评：本题主要考查了解三角形的实际应用，正弦定理和余弦定理的应用．作为解决实际问题而言，建立适当的数学模型是正确解题的重要前提．