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    椭圆G：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的两个焦点为F1（-c，0），F2（c，0），M是椭圆上的一点，且满足
    F1M
    •
    F2M
    =0    ．
    （1）求离心率的取值范围；
    （2）当离心率e取得最小值时，点N（0，3）到椭圆上的点的最远距离为5
    		2
    ；
    ①求此时椭圆G的方程；
    ②设斜率为k（k≠0）的直线L与椭圆G相交于不同的两点A、B，Q为AB的中点，问A、B两点能否关于过点P(0，-
    		3
    3
    )    、Q的直线对称？若能，求出k的取值范围；若不能，请说明理由．
    分析：本题考查的知识点是平面向量的数量积运算，椭圆的标准方程，椭圆的性质及直线与椭圆的关系等知识点，
    （1）我们设M（x，y），则易得向量
    F1M
    ，
    F2M
    的坐标，由
    F1M
    •
    F2M
    =0    ，结合向量垂直的充要条件，我们即可得到x，y的关系式，又由M又在椭圆上，代入椭圆方程即可得到离心率的取值范围．
    （2）①由（1）的结论，我们易得到离心率e取得最小值时的椭圆方程（含参数），再点N（0，3）到椭圆上的点的最远距离为5
    		2
    ，我们易得到关于参数的方程，解方程即可得到椭圆的方程．②设出未知直线的方程，然后联立直线方程与椭圆方程，得到一个关于x的一元二次方程，然后使用“设而不求”的方法，结合韦达定理及A、B两点能否关于过点P(0，-
    		3
    3
    )    、Q的直线对称构造不等式组，解不等式组即可得到k的取值范围．
    解答：解：（1）设M（x，y），则
    F1M
    =(x+c，y)，
    F2M
    =(x-c，y)
    由
    F1M
    •
    F2M
    =0?x2+y2=c2?y2=c2-x2    （1分）
    又M在椭圆上，∴y2=b2-
    b2
    a2
    x2    （2分）
    ∴c2-x2=b2-
    b2
    a2
    x2?x2=a2-
    a2b2
    c2
    ，（3分）
    又0≤x2≤a2∴0＜2-
    1
    e2
    ≤1?
    		2
    2
    ≤e≤1    ，（4分）
    ∵0＜e＜1，∴
    		2
    2
    ≤e＜1    （5分）
    （2）①当e=
    		2
    2
    时得椭圆为
    x2
    2b2
    +
    y2
    b2
    =1
    设H（x，y）是椭圆上一点，
    则|HN|2=x2+（y-3）2=（2b2-2y2）+（y-3）2=-（y+3）2+2b2+18，（-b≤y≤b）
    （6分）
    设0＜b＜3，则-3＜-b＜0，当y=-b时，|HN|max2=b2+6b+9，，由题意得b2+6b+9=50
    ∴b=-3±5
    		2
    ，与0＜b＜3矛盾，（7分）
    设b≥3得-b≤-3，当y=-3时，|HN|max2=2b2+18，，由2b2+18=50得b2=16，（合题薏）
    ∴椭圆方程是：
    x2
    32
    +
    y2
    16
    =1    （8分）
    ②．设l：y=kx+m由
    x2
    32
    +
    y2
    16
    =1
    y=kx+m
    ?(1+2k2)x2+4kmx+2m2-32=0
    而△＞0?m2＜32k2+16（9分）
    又A、B两点关于过点P(0，-
    		3
    3
    )    、Q的直线对称
    ∴kPQ=-
    1
    k
    ，设A（x1，y1），B（x2，y2），则xQ=-
    2km
    1+2k2
    ，yQ=
    m
    1+2k2
    （10分）
    ∴
    yQ+
    		3
    3
    xQ
    =-
    1
    k
    ?m=
    1+2k2
    		3
    （11分）
    ∴(
    1+2k2
    		3
    )2＜32k2+16?0＜k2＜
    47
    2
    （10分）
    又k≠0，∴-
    		94
    2
    ＜k＜0    或0＜k＜
    		94
    2
    （11分）
    ∴需求的k的取值范围是-
    		94
    2
    ＜k＜0    或0＜k＜
    		94
    2
    （12分）
    点评：在处理直线与圆锥曲线的关系类问题时，我们的使用的方法及思路一般有：①联立方程；②设而不求；③韦达定理；④弦长公式等．
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2011•顺义区一模）已知椭圆G：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0）的离心率e=
    1
    2
    ，且经过点P(1，
    3
    2
    )    ．
    （Ⅰ）求椭圆G的方程；
    （Ⅱ）设直线l：y=
    1
    2
    x+m    与椭圆G交于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点T，当m变化时，求△TAB面积的最大值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•海淀区一模）已知圆M：（x-
    		2
    ）2+y2=
    7
    3
    ，若椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的右顶点为圆M的圆心，离心率为
    		2
    2
    ．
    （I）求椭圆C的方程；
    （II）已知直线l：y=kx，若直线l与椭圆C分别交于A，B两点，与圆M分别交于G，H两点（其中点G在线段AB上），且|AG|=|BH|，求k的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e=
    1
    2
    ，P1为椭圆上一点，满足
    F1F2
    •
    P1F2
    =0，
    P1F1
    •
    P1F2
    =
    9
    4
    ，斜率为k的直线l 过左焦点F1且与椭圆的两个交点为P、Q，与y轴交点为G，点Q分有向线段
    GF1
    所成的比为λ．
    （I） 求椭圆C的方程；
    （II） 设线段PQ中点R在左准线上的射影为H，当1≤λ≤2时，求|RH|的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，已知F（c，0）是椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的右焦点；⊙F：（x-c）2+y2=a2与x轴交于D，E两点，其中E是椭圆C的左焦点．
    （1）求椭圆C的离心率；
    （2）设⊙F与y轴的正半轴的交点为B，点A是点D关于y轴的对称点，试判断直线AB与⊙F的位置关系；
    （3）设直线BF与⊙F交于另一点G，若△BGD的面积为4
    		3
    ，求椭圆C的标准方程．

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    科目：高中数学 来源：顺义区一模 题型：解答题

    已知椭圆G：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0）的离心率e=
    1
    2
    ，且经过点P(1，
    3
    2
    )    ．
    （Ⅰ）求椭圆G的方程；
    （Ⅱ）设直线l：y=
    1
    2
    x+m    与椭圆G交于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点T，当m变化时，求△TAB面积的最大值．

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