Question

设α、β为函数g（x）=2x²-mx-2的两个零点，m∈R且α＜β，函数f(x)=

4x-m

x2+1

•
（ I）求f（a）•g（x）的值；
（Ⅱ） 证明：函数f（x）在[α，β]上为增函数；
（III） 是否存在实数m，使得函数f（x）在[α，β]上的最大值与最小值之差达到最小．若存在，则求出实数m的值；否则，请说明理由．

Answer 1

分析：（ I）由题意并根据一元二次方程根与系数的关系可得

α+β= m 2 αβ=-1

，运算可得f（α）•f（β）=

4a-m

a2+1

×

4β-m

β2+1

的值．
（Ⅱ）?x₁，x₂∈[α，β]，x₁＜x₂ ，依据条件判断f（x₁）-f（x₂）＜0，从而得到函数f（x）在[α，β]上为增函数．
（III）函数f（x）在[α，β]上的最大值与最小值之差为 f(β)-f(α)=f(β)+

4

f(β)

≥4，当且仅当 f（β）=

4

f(β)

时，等号成立，此时，f（β）=2，即2β²-mβ-2=0，可得m=0．

解答：解：（ I）由题意可得

α+β= m 2 αβ=-1

，故 f（α）•f（β）=

4a-m

a2+1

×

4β-m

β2+1

=

16αβ-4m(α+β)+m2

(αβ)2+(α+β)2-2αβ+1

=-4．（4分）
（Ⅱ）?x₁，x₂∈[α，β]，x₁＜x₂ ，可得f(x1)-f(x2)=

(x2-x1)[4x1x2-4-m(x2+x1)]

( x 2 1 +1)( x 2 2 +1)

．
∵（x₁-α）（x₂-β）≤0，（x₁-β）（x₂-α）＜0，两式相加可得 2x₁x₂-（α+β）（x₁+x₂）+2αβ＜0．
∵α+β=

m

2

，αβ=-1，∴（x₂-x₁）[4x₁x₂-4-m（x₂+x₁）]＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，∴函数f（x）在[α，β]上为增函数．（4分）
（III）函数f（x）在[α，β]上的最大值与最小值之差为 f(β)-f(α)=f(β)+

4

f(β)

≥4，
当且仅当 f（β）=

4

f(β)

 时，等号成立，此时，f（β）=2，即

4β-m

β2+1

=2，2β²-mβ-2=0．
结合α+β=

m

2

，αβ=-1可得m=0．
综上可得，存在实数m=0，满足条件．（5分）

点评：本题主要考查函数的零点的定义，二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，属于基础题．