分析 ①由正弦定理可得:ab=2c2,由余弦定理可得:c2=$\frac{ab}{2}$=a2+b2-2abcosC,整理可得:cosC=$\frac{1}{2}(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})$-$\frac{1}{4}$≥$\frac{3}{4}$$>\frac{\sqrt{2}}{2}$,利用余弦函数的图象和性质可得0<C<$\frac{π}{4}$,命题正确;
②利用余弦定理,将c2放大为($\frac{a+b}{2}$)2,再结合均值定理即可证明cosC>$\frac{1}{2}$,从而证明C<$\frac{π}{3}$;
③由题意可得 (a2+b2)2-c4 =2a2b2>0,△ABC中,由余弦定理可得 cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$>0,故角C 为锐角,再根据c边为最大边,故角C 为△ABC的最大角,从而得出结论
④只需举反例即可证明其为假命题,可举符合条件的等边三角形;
解答 解:①若sinAsinB=2sin2C,由正弦定理可得:ab=2c2,
由余弦定理可得:c2=$\frac{ab}{2}$=a2+b2-2abcosC,整理可得:cosC=$\frac{1}{2}(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})$-$\frac{1}{4}$≥$\frac{3}{4}$$>\frac{\sqrt{2}}{2}$,
则0<C<$\frac{π}{4}$,命题正确;
②a+b>2c⇒cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$>$\frac{4({a}^{2}+{b}^{2})-(a+b)^{2}}{8ab}$≥$\frac{3}{8}$×$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{ab}$-$\frac{1}{4}$≥$\frac{3}{4}$>$\frac{1}{2}$⇒C<$\frac{π}{3}$,故②正确;
③∵△ABC的三边长分别为a,b,c,且a4+b4=c4,
∴(a2+b2)2=a4+b4 +2a2b2=c4+2a2b2.
∴(a2+b2)2-c4 =2a2b2>0.
又 (a2+b2)2-c4 =(a2+b2+c2)(a2+b2-c2),
∴(a2+b2-c2)>0.
△ABC中,由余弦定理可得 cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$>0,故角C为锐角.
再由题意可得,c边为最大边,故角C为△ABC的最大角,
∴△ABC是锐角三角形,命题正确;
④取a=b=2,c=1,满足(a+b)c<2ab得:C<$\frac{π}{3}$<$\frac{π}{2}$,故④错误;
故答案为:①②③.
点评 本题主要考查了解三角形的知识,放缩法证明不等式的技巧,反证法和举反例法证明不等式,有一定的难度,考查了转化思想,属于中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{1}{2}$ | B. | $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$ | C. | $±\frac{1}{2}$ | D. | $±\frac{{\sqrt{3}}}{2}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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