Question

【题目】已知函数f（x）=（x2﹣x﹣1）ex ．
（1）求函数f（x）的单调区间．
（2）若方程a（ +1）+ex=ex在（0，1）内有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解： f′（x）=（x2+x﹣2）ex=（x﹣1）（x+2）ex，

令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜﹣2，

令f′（x）＜0，解得：﹣2＜x＜1，

故f（x）在（﹣∞，﹣2）递增，在（﹣2，1）递减，在（1，+∞）递增；

（2）方程a（ +1）+ex=ex可化为ex﹣ax2+（a﹣e）x=0，

令g（x）=ex﹣ax2+（a﹣e）x，则g（x）在（0，1）内有零点，易知g（0）=1，g（1）=0，

g′（x）=ex﹣2ax+a﹣e，设g′（x）=h（x），则h′（x）=ex﹣2a，

①a＜0时，h′（x）＞0，即h（x）在区间（0，1）递增，h（0）=1+a﹣e＜0，

h（1）=﹣a＞0，即h（x）在区间（0，1）只有1个零点x1，

故g（x）在（0，x1）递减，在（x1，1）递增，

而g（0）=1＞0，g（1）=0，得g（x1）＜g（1）=0，故g（x）在（0，x1）内存在唯一零点；

②当0≤a≤ 时，h′（x）＞0，即h（x）在区间（0，1）递增，

h（x）＜h（1）=﹣a≤0，得g（x）在（0，1）递减，得g（x）在（0，1）无零点；

③当 ＜a＜ 时，令h′（x）=0，得x=ln（2a）∈（0，1），

∴h（x）在区间（0，ln（2a））上递减，在（ln（2a），1）递增，

h（x）在区间（0，1）上存在最小值h（ln（2a）），

故h（ln（2a））＜h（1）=﹣a＜0，h（0）=1+a﹣e＜a﹣ ＜0，

故 ＜a＜ 时，x∈（0，1），都有g′（x）＜0，g（x）在（0，1）递减，

又g（0）=1，g（1）=0，故g（x）在（0，1）内无零点；

④a≥ 时，h′（x）＜0，h（x）在区间（0，1）递减，h（1）=﹣a＜0，h（0）=1+a﹣e，

若h（0）=1+a﹣e＞0，得a＞e﹣1＞ ，

则h（x）在区间（0，1）只有1个零点x2，

故g（x）在（0，x2）递增，在（x2，1）递减，

而g（0）=1，g（1）=0，得g（x）在（0，1）无零点，

若 ＜a时，则h（0）=1+a﹣e＜0，得g（x）在（0，1）递减，得g（x）在（0，1）内无零点，

综上，a＜0时，方程a（ +1）+ex=ex在（0，1）内有解．

【解析】（1）对f（x）求导，讨论函数的单调区间即可，（2）问题可化为ex﹣ax2+（a﹣e）x=0，令g（x）=ex﹣ax2+（a﹣e）x，则g（x）在（0,1）内由零点，讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而确定a的范围即可.
【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数是解答本题的根本，需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．