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若点O和点F分别为椭圆
x2
2
+y2=1
的中心和右焦点,点P为椭圆上的任意一点,则
OP
PF
的最大值为
-
1
2
-
1
2
分析:先求出左焦点坐标F,设P(x0,y0),根据P(x0,y0)在椭圆上可得到x0、y0的关系式,表示出向量
PF
OP
,根据数量积的运算将x0、y0的关系式代入组成二次函数进而可确定答案.
解答:解:由题意,F(1,0),设点P(x0,y0),则有
x02
2
+
y02
1
=1
,解得y02=1-
x02
2

因为
PF
=(1-x0-y0)
OP
=(x0y0)

所以
OP
PF
=x0(1-x0)-y02
=x0(1-x0)-1+
x02
2
=-
x02
2
+x0-1

此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=1,
因为-
2
≤x0
2
,所以当x0=1时,则
OP
PF
的最大值为 -
1
2

故答案为:-
1
2
点评:本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等,考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

若点O和点F分别为椭圆
x2
4
+
y2
3
=1
的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则
OP
FP
的最大值为(  )
A、2B、3C、6D、8

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若点O和点F分别为椭圆
x2
4
+
y2
3
=1的中心和左焦点,点P为椭圆上点的任意一点,则
OP
FP
的最大值为
6
6

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科目:高中数学 来源: 题型:

若点O和点F分别为椭圆
x2
9
+
y2
5
=1
的中心和左焦点,点P为椭圆上任意一点,则
OP
FP
的最小值为(  )

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x22
+y2=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则|OP|2+|PF|2的最小值为
2
2

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x2
4
-
y2
5
=1
的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则
OP
FP
的最小值为(  )

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