Question

若点O和点F分别为椭圆

x2

2

+y2=1的中心和右焦点，点P为椭圆上的任意一点，则

OP

•

PF

的最大值为

-

1

2

．

Answer 1

分析：先求出左焦点坐标F，设P（x₀，y₀），根据P（x₀，y₀）在椭圆上可得到x₀、y₀的关系式，表示出向量

PF

、

OP

，根据数量积的运算将x₀、y₀的关系式代入组成二次函数进而可确定答案．

解答：解：由题意，F（1，0），设点P（x₀，y₀），则有

x02

2

+

y02

1

=1，解得y02=1-

x02

2

，
因为

PF

=(1-x0，-y0)，

OP

=(x0，y0)，
所以

OP

•

PF

=x0(1-x0)-y02=x₀（1-x₀）-1+

x02

2

=-

x02

2

+x0-1，
此二次函数对应的抛物线的对称轴为x₀=1，
因为-

2

≤x₀≤

2

，所以当x₀=1时，则

OP

•

PF

的最大值为 -

1

2

．
故答案为：-

1

2

．

点评：本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力．