Question

如图，在边长为4的正方形ABCD的边上有动点P，从B点开始，沿折线BCDA向A点运动，设点P移动的路程为x，△ABP面积为S.

(1)求函数S=f(x)的解析式、定义域和值域.

(2)求f［f(3)］的值.

Answer 1

思路解析：实际应用问题，首先应建立数学模型，然后再利用有关知识解决，应特别注意定义域.

解：(1)如下图所示，=×4×x=2x，0＜x≤4,

=×4×4=8，4＜x≤8,

=×4×(12-x)=24-2x，8＜x＜12,

∴S=f(x)=定义域为(0，12),

值域为(0，8)∪｛8｝∪(0，8)=(0，8).

(2)f［f(3)］=f(6)=8.

评注：用函数描述和研究现实世界中的运动问题是学习函数的归宿，正确分析实际问题，抽象出数学本质，并用数学工具(函数)进行描述是解题的关键，此实际问题中点在不同路径上运动时，其面积的变化规律是不同的，因此应该用分段函数描述.