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    【题目】已知椭圆的一个焦点与上下顶点构成直角三角形，以椭圆E的长轴为直径的圆与直线相切．

    （Ⅰ）求椭圆E的标准方程；

    （Ⅱ）为椭圆上不同的三点，为坐标原点，若，试问：的面积是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．

    【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）是定值，定值为

    【解析】

    （Ⅰ）根据题意利用圆心到直线的距离与半径相等列出关于的关系,再根据一个焦点与上下顶点构成直角三角形可得,再联立求解即可.

    （Ⅱ）分当斜率不存在与存在两种情况.当斜率存在时设直线,再联立方程写出韦达定理,再根据得出关于,的关系,代入化简可得，再求出面积的表达式,代入化简证明即可.

    （Ⅰ）由题意知,

    解得.则椭圆C的方程是：

    （Ⅱ）①当斜率不存在时,不妨设,,

    ②设由

    设,,则,.

    由 ,代入有,化简可得

    原点到的距离,

    故

    综上：的面积为定值

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    A. B. C. D.

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    A.B.C.D.

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