Question

【题目】已知椭圆C： ，F1 ， F2分别为左右焦点，在椭圆C上满足条件 的点A有且只有两个
（1）求椭圆C的方程
（2）若过点F2的两条相互垂直的直线l1与l2 ， 直线l1与曲线y2=4x交于两点M、N，直线l2与椭圆C交于两点P、Q，求四边形PMQN面积的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵在椭圆C上满足条件 的点A有且只有两个，

∴A点为椭圆短轴两端点，则b=c=1，∴a2=b2+c2=2，

则椭圆C的方程为：

（2）解：令M（x1，y1），N（x2，y2），当直线l1的斜率不存在时，直线l2的斜率为0，

求得|MN|=4，|PQ|=2 ，则 ；

当直线l1的斜率存在时，设直线方程为y=k（x﹣1）（k≠0），

联立 ，得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0．

则 ，

|MN|= ．

∵l1⊥l2，∴直线l2的方程：y=﹣ ．

令P（x3，y3），Q（x4，y4），

联立 ，得（k2+2）x2﹣4x+2﹣2k2=0．

．

∴|PQ|= = ．

∴ = ．

令t=1+k2（t＞1），

∴ ．

∴四边形PMQN面积的取值范围是

【解析】（1）由已知可得b=c=1，再由隐含条件求得a，则椭圆方程可求；（2）当直线l1的斜率不存在时，直线l2的斜率为0，求出|MN|、|PQ|，求出四边形的面积；当直线l1的斜率存在时，设直线方程为y=k（x﹣1）（k≠0），得到直线l2的方程：y=﹣ ．分别联立直线方程与抛物线方程和椭圆方程，利用弦长公式求出|MN|、|PQ|，代入四边形面积公式，利用换元法求得四边形PMQN面积的取值范围．