Question

设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意x₁、x₂∈［0,］,都有f(x₁+x₂)=f(x₁)·f(x₂).

(1)设f(1)=2,求f(),f();

(2)证明f(x)是周期函数.

Answer 1

(1)解:由f(x₁+x₂)=f(x₁)·f(x₂),x₁、x₂∈［0,］知f(x)=f()·f()=［f()］²≥0,x∈［0,1］.

    因为f(1)=f()·f()=［f()］²?,及f(1)=2,所以f()=.

    因为f()=f()·f()=［f()］²,及f()=,所以f()=.

(2)证明:依题设y=f(x)关于直线x=1对称，故f(x)=f(1+1-x)f(x)=f(2-x),x∈R.

    又由f(x)是偶函数知f(-x)=f(x),x∈R,所以f(-x)=f(2-x),x∈R.将上式中-x以x代换，得f(x)=f(x+2),x∈R.

    这表明f(x)是R上的周期函数，且2是它的一个周期.