Question

9．已知圆C：（x-3）²+（y-4）²=4．
（Ⅰ） 若直线l过点A（2，3）且被圆C截得的弦长为2$\sqrt{3}$，求直线l的方程；
（Ⅱ） 若直线l过点B（1，0）与圆C相交于P，Q两点，求△CPQ的面积的最大值，并求此时直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出圆C的圆心坐标为C（3，4），半径R=2，推出圆心C到直线l的距离d=1，（1）当直线l的斜率不存在时，l：x=2，判断是否满足题意；（2）当直线l的斜率存在时，设l：y-3=k（x-2），利用点到直线的距离公式求解即可．
（Ⅱ）法一：设直线l方程：y=k（x-1），利用点到直线的距离公式以及三角形面积公式，通过二次函数的最值求解即可．
法二：设圆心C到直线l的距离为d，表示三角形的面积，利用基本不等式求解即可．
法三：S_△CPQ=$\frac{1}{2}$R•Rsin∠PCQ，利用三角函数的最值求解，圆心C到直线l的距离$d=\sqrt{2}$，然后转化求解即可．

解答 解：（Ⅰ）圆C的圆心坐标为C（3，4），半径R=2，
∵直线l被圆E截得的弦长为2$\sqrt{3}$，∴圆心C到直线l的距离d=1 …（2分）
（1）当直线l的斜率不存在时，l：x=2，显然满足d=1； …（3分）
（2）当直线l的斜率存在时，设l：y-3=k（x-2），即kx-y+3-2k=0，
由圆心C到直线l的距离d=1得：$\frac{|k-1|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=1$，解得k=0，故l：y=3； …（5分）
综上所述，直线l的方程为x=2或y=3…（6分）
（Ⅱ）法一：∵直线与圆相交，∴l的斜率一定存在且不为0，设直线l方程：y=k（x-1），
即kx-y-k=0，则圆心C到直线l的距离为d=$\frac{|2k-4|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，…（8分）
又∵△CPQ的面积S=$\frac{1}{2}×d×2\sqrt{4-{d}^{2}}$=d$\sqrt{4-{d}^{2}}$=$\sqrt{{d}^{2}（4-{d}^{2}）}$=$\sqrt{-（{d}^{2}-2）^{2}+4}$…（10分）
∴当$d=\sqrt{2}$时，S取最大值2．由d=$\frac{|2k-4|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{2}$，得k=1或k=7，
∴直线l的方程为x-y-1=0或7x-y-7=0．…（12分）
法二：设圆心C到直线l的距离为d，
则${S_{△CPQ}}=\frac{1}{2}PQ•d=\sqrt{4-{d^2}}•d=\sqrt{（4-{d^2}）•{d^2}}≤\frac{{（4-{d^2}）+{d^2}}}{2}=2$（取等号时$d=\sqrt{2}$）
以下同法一．
法三：${S_{△CPQ}}=\frac{1}{2}R•Rsin∠PCQ=2sin∠PCQ≤2$
取“=”时∠PCQ=90°，△CPQ为等腰直角三角形，则圆心C到直线l的距离$d=\sqrt{2}$，
以下同法一．

点评 本题考查圆的方程的综合应用，考查直线与位置关系的关系，涉及基本不等式，二次函数的最值，三角函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．