Question

给定两个命题，P：对任意实数x都有ax²+ax+1＞0恒成立；Q：关于x的方程x²-x+a=0有实数根；如果“P∧Q”为假，且“P∨Q”为真，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：根据二次函数恒成立的充要条件，我们可以求出命题p为真时，实数a的取值范围，根据二次函数有实根的充要条件，我们可以求出命题q为真时，实数a的取值范围，然后根据p∨q为真命题，p∧q为假命题，则命题p，q中一个为真一个为假，分类讨论后，即可得到实数a的取值范围．

解答：解：对任意实数x都有ax²+ax+1＞0恒成立?a=0或

a＞0 △＜0

?0≤a＜4；
关于x的方程x²-x+a=0有实数根?1-4a≥0?a≤

1

4

；
由于“P∧Q”为假，且“P∨Q”为真，则P与Q一真一假；
（1）如果P真，且Q假，有0≤a＜4，且a＞

1

4

⇒

1

4

＜a＜4；
（2）如果Q真，且P假，有a＜0或a≥4，且a≤

1

4

⇒a＜0．
所以实数a的取值范围为：(-∞，0)∪(

1

4

，4)．

点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，复合命题的真假，函数恒成立问题，其中判断出命题p与命题q为真时，实数a的取值范围，是解答本题的关键．