Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，．
（1）求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）若q∈N^*，是否存在q的某些取值，使数列{a_n}中某一项能表示为另外三项之和？若能求出q的全部取值集合，若不能说明理由．
（3）若q∈R，是否存在q∈[3，+∞），使数列{a_n}中，某一项可以表示为另外三项之和？若存在指出q的一个取值，若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）n=1时，a₁=S₁=a，
n≥2时，
∵n=1时，a₁=a=aq^1-1也符合
∴，可得，即数列{a_n}是公比为q等比数列．
（2）设存在某一项，它能表示为另外三项之和，即，
则，
易得n₄是n₁、n₂、n₃、n₄中的最大值，不妨设n₄＞n₃＞n₂＞n₁，
两边同除以，整理得：
因为左边能被q整除，右边不能被q整除，因此满足条件的q不存在．
∴不存在q的某些取值，使数列{a_n}中某一项能表示为另外三项之和
（3）若则
易得n₄是n₁、n₂、n₃、n₄中的最大值，不妨设n₄＞n₃＞n₂＞n₁，
∵q≥3，，
∴不成立．
因此，不存在q∈[3，+∞），使数列{a_n}中，某一项可以表示为另外三项之和．
分析：（1）利用公式a_n=进行讨论，然后综合可得a_n的通项公式，从而证出数列{a_n}是公比为q等比数列．
（2）假设存在满足条件的一项能表示为另外三项之和，设，经过讨论可变形为，根据等式两边对q的整除性，可知等式不成立，从而得到不存在满足条件的q值．
（3）用类似（2）的方法，设，结合{a_n}的通项公式和q≥3，利用不等式的性质证明出恒成立，从而证出等式不成立，从而得到不存在满足条件的q值．
点评：本题给出等比数列，要我们探索能否存在一项使它等于另外三项的和，着重考查了等比数列的通项公式和不等式的基本性质等知识，属于中档题．