Question

12．已知关于x的不等式ax²-3x+2＜0（a∈R）
（Ⅰ）若不等式ax²-3x+2＜0的解集为{x|x＜1或x＞b}，求a，b的值．
（Ⅱ）求不等式ax²-3x+2＞5-ax（a∈R）的解集．

Answer 1

分析 （Ⅰ）ax²-3x+2=0的两根为x=1或x=b，且a＞0，根据根与系数的关系即可求出a，b的值；
（Ⅱ）原不等式化为（ax-3）（x+1）＞0，然后分类讨论求出不等式的解集．

解答 解：（Ⅰ）∵不等式ax²-3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}，
∴ax²-3x+2=0的两根为x=1或x=b，且a＞0，
∴1+b=$\frac{3}{a}$，b=$\frac{2}{a}$，
解得a=1，b=2；
（Ⅱ）∵ax²-3x+2＞5-ax，
∴ax²+（a-3）x-3＞0，
即（ax-3）（x+1）＞0，
当a=0时，原不等式解集为（-∞，-1）
当a≠0时，方程（ax-3）（x+1）=0的根为x=$\frac{3}{a}$，或x=-1，
∴①当a＞0时，$\frac{3}{a}$＞-1，原不等式解集为（-∞，-1）∪（$\frac{3}{a}$，+∞），
②当-3＜a＜0时，$\frac{3}{a}$＜-1，原不等式解集为（$\frac{3}{a}$，-1），
③当a=-3时，$\frac{3}{a}$=-1，原不等式解集为∅
④当a＜-3时，原不等式解集为（-1，$\frac{3}{a}$）．

点评 本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及方程的根与不等式的解集之间的关系，属于中档题