Question

【题目】已知函数f（x）=2+ 的图象经过点（2，3），a为常数．
（1）求a的值和函数f（x）的定义域；
（2）用函数单调性定义证明f（x）在（a，+∞）上是减函数．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）=2+ 的图象经过点（2，3），

∴2+ =3，解得a=1；

∴f（x）=2+ ，且x﹣1≠0，则x≠1，

∴函数f（x）的定义域为{x|x≠1}；

（2）解：用函数单调性定义证明f（x）在（1，+∞）上是减函数如下；

设1＜x1＜x2，则

f（x1）﹣f（x2）=（2+ ）﹣（2+ ）= ，

∵1＜x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，x1﹣1＞0，x2﹣1＞0，

∴f（x1）＞f（x2），

∴f（x）在（1，+∞）上是减函数．

【解析】（1）把点（2，3）代入函数解析式求出a的值；根据f（x）的解析式，求出它的定义域；（2）用单调性定义证明f（x）在（1，+∞）上是减函数即可．
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数的定义域及其求法(求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①是整式时，定义域是全体实数;②是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数;③是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合;④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1,零（负）指数幂的底数不能为零)，还要掌握函数单调性的判断方法(单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较)的相关知识才是答题的关键．