Question

已知抛物线E的顶点在原点，焦点F在x轴上，直线l过F垂直于x轴且与抛物线E交于AB两点，若△OAB的面积等于4（O为坐标原点），求抛物线E的方程．

Answer 1

分析：设抛物线E的焦参数为p，根据抛物线的方程算出线段AB长等于2p，原点O到AB的距离等于

p

2

，由此将△OAB的面积表示为关于p的式子，结合题意建立关于p的方程，解出p的值即可得到所求抛物线E的方程．

解答：解：①当抛物线的开口向右时，设抛物线E的方程为y²=2px（p＞0），
可得抛物线E的焦点坐标为F（

p

2

，0），
∵直线l过F垂直于x轴，与抛物线E交于A、B两点，
∴A（

p

2

，p），B（

p

2

，-p），得|AB|=2p，
因此，△OAB的面积S=

1

2

|AB|•|OF|=4，即

1

2

×2p×

p

2

=4，
化简得p²=8，得p=2

2

（舍负），抛物线的方程为y2=4

2

x；
②当抛物线的开口向左时，设抛物线E的方程为y²=-2px（p＞0），
利用类似于①的方法，可得抛物线的方程为y2=-4

2

x
综上所述，可得抛物线E的方程为y2=±4

2

x．

点评：本题给出抛物线的通径与顶点构成的三角形的面积，求抛物线的方程．着重考查了抛物线的标准方程与简单几何性质、三角形的面积求法等知识，属于基础题．