Question

已知函数f（x）=-x²+ax+b²-b+1，（a，b∈R）对任意实数x都有f（1-x）=f（1+x）成立，若当x∈[-1，1]时，f（x）＞0恒成立，则b的取值范围是（　　）

A．-1＜b＜0

B．b＞2

C．b＞2或b＜-1

D．b＜-1

Answer 1

分析：先根据条件“对任意实数x都有f（1-x）=f（1+x）成立”得到对称轴，求出a，再研究函数f（x）在[-1，1]上的单调性，求出函数的最小值，使最小值大于零即可．

解答：解：∵对任意实数x都有f（1-x）=f（1+x）成立，
∴函数f（x）的对称轴为x=1=

a

2

，解得a=2，
∵函数f（x）的对称轴为x=1，开口向下，
∴函数f（x）在[-1，1]上是单调递增函数，
而f（x）＞0恒成立，f（x）_min=f（-1）=b²-b-2＞0，
解得b＜-1或b＞2，
故选C

点评：本题主要考查了函数恒成立问题，二次函数在给定区间上恒成立问题必须从开口方向，对称轴，判别式及端点的函数值符号4个角度进行考虑．