Question

四川汶川抗震指挥部决定建造一批简易房（房型为长方体状，房高2.5米），前后墙用2.5米高的彩色钢板，两侧用2.5米高的复合钢板，两种钢板的价格都用长度来计算（即：钢板的高均为2.5米，用钢板的长度乘以单价就是这块钢板的价格），每米单价：彩色钢板为450元，复合钢板为200元．房顶用其它材料建造，每平方米材料费为200元．每套房材料费控制在32000元以内．
（1）设房前面墙的长为x，两侧墙的长为y，所用材料费为p，试用x，y表示p；
（2）简易房面积S的最大值是多少？并求当S最大时，前面墙的长度应设计为多少米？

Answer 1

【答案】分析：（1）根据题意可分别求得前面墙，两侧墙和房顶的费用，三者相加即可求得P．
（2）利用P的表达式和基本不等式求得关于的不等式关系，求得的范围，以及等号成立条件求得x的值．
解答：解：（1）P=2x×450+2y×200+xy×200=900x+400y+200xy
即P=900x+400y+200xy
（2）S=xy，且P≤32000；
由题意可得：P=200S+900x+400y≥200S+2
∴200S+1200≤P≤32000
∴（）2+6-160≤0
∴0＜≤10
当且仅当，即x=取最大值；
答：简易房面积S的最大值为100平方米，此时前面墙设计为米．
点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．考查了学生分析问题和解决实际问题的能力．