Question

13．已知函数f（x）=|lg（x+1）|，实数a，b满足：$a＜b，且f（a）=f（{-\frac{b+1}{b+2}}）$，则f（8a+2b+11）取最小值时，a+b的值为$-\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根据题目给出的等式f（a）=f（-$\frac{b+1}{b+2}$），代入函数解析式得到a、b的关系，从而得出f（8a+2b+11）取最小值时，a，b的值，即可得出结论．

解答 解：因为f（a）=f（-$\frac{b+1}{b+2}$），所以|lg（a+1）|=|lg（-$\frac{b+1}{b+2}$+1）|=|lg（$\frac{1}{b+2}$）|=|lg（b+2）|，
所以a+1=b+2，或（a+1）（b+2）=1，又因为a＜b，所以a+1≠b+2，所以（a+1）（b+2）=1．
又由f（a）=|lg（a+1）|有意义知a+1＞0，从而0＜a+1＜b+1＜b+2，
于是0＜a+1＜1＜b+2．
所以8a+2b+11=8（a+1）+2（b+2）-1=2（b+2）+$\frac{8}{b+2}$-1＞1．
从而f（8a+2b+11）=|lg[2（b+2）+$\frac{8}{b+2}$]|=lg[2（b+2）+$\frac{8}{b+2}$]≥3lg2，
当且仅当b=0，a=-$\frac{1}{2}$时取等号．
∴a+b=$-\frac{1}{2}$．
故答案为-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了函数解析式的求解及常用方法，考查了数学代换思想，解答此题的关键是根据第一个等式找出a和b之间的关系，然后把一个字母用另一个字母代替，借助于第二个等式求解．