Question

12、定义在R上的偶函数f（x），满足f（x+1）=-f（x），且f（x）在[-1，0]上是增函数，下列四个关于f（x）的命题中：
①f（x）是周期函数；
②f（x）在[0，1]上是减函数；
③f（x）在[1，2]上是增函数；
④f（x）的图象关于x=1对称．
其中正确命题的个数是（　　）

A、1个

B、2个

C、3个

D、4个

Answer 1

分析：由于定义在R上的偶函数f（x），满足f（x+1）=-f（x），且f（x）在[-1，0]上是增函数，由此可以得出其周期是2，在[0，1]上是减函数，①f（x）是周期函数，由f（x+1）=-f（x）证明．
②f（x）在[0，1]上是减函数；由偶函数的对称性求证；
③f（x）在[1，2]上是增函数；由周期性求证；
④f（x）的图象关于x=1对称．由f（x+1）=-f（x）及f（x）是偶函数来证．

解答：解：由f（x+1）=-f（x），得f（x+1）=-f（x）=f（x-1），故函数的周期是2，①正确；
f（x）在[-1，0]上是增函数，又函数是偶函数，故函数f（x）在[0，1]上是减函数；②正确；
由 f（x）在[-1，0]上是增函数，又函数是周期为2的函数，故可得f（x）在[1，2]上是增函数；③正确；
由f（x+1）=-f（x）=f（x-1），又函数是偶函数，故有f（1+x）=f（1-x），故函数的对称轴是x=1，④正确．
故应选D．

点评：本题利用函数的奇偶性与单调性进行判断证明，本解法灵活运用函数的性质与题设中的恒等式对几个命题进行证明，安排恰当合理，值得借鉴．