Question

设指数函数y=a^x与对数函数y=log_ax（a＞0，a≠1）的图象分别为C₁，C₂，点M在曲线C₁上，线段OM（O为坐标原点）交曲线C₁于另一点N．若曲线C₂上存在一点P，使点P的横坐标与点M的纵坐标相等，点P的纵坐标是点N的横坐标的2倍，则点P的坐标是（　　）

A．（4，4）

B．（a⁴，4）

C．（4，log_a4）

D．（log_a4，2）

Answer 1

分析：设P（m，log_am），可设M（α，m），N（

1

2

log_am，β），根据曲线C₁、C₂的表达式，解出α=log_am，β=

m

，得出M、N坐标关于a、m的表达形式，最后根据M、N、O三点共线，利用斜率相等建立关系式可得出m=4，从而得出点P的坐标．

解答：解：设P（m，log_am），则可设M（α，m），N（

1

2

log_am，β）
∵M（α，m），N（

1

2

log_am，β）在指数函数y=a^x的图象上
∴m=a^α且β=a

1

2

logam，解之得α=log_am，β=

m

由此可得M（log_am，m），N（

1

2

log_am，

m

）
∵M、N、O三点共线
∴k_OM=K_ON，即

m

logam

=

m

1 2 logam

，解之得m=4（舍去0）
因此点P的坐标为（4，log_am）
故选：C

点评：本题给出指数函数和对数函数图象上点坐标之间的关系，求其中一个点的坐标，着重考查了函数的图象与性质、指数和对数函数图象与性质的综合应用等知识，属于中档题．