Question

【题目】已知函数．

（1）设是函数的极值点，求并讨论的单调性；

（2）设是函数的极值点，且恒成立，求的取值范围（其中常数满足）．

Answer 1

【答案】（1），在单调递减，在单调递增；

（2）．

【解析】

试题分析：（1）求导可得 ，然后对进行分类讨论；（2），设在单调递增在单调递增是在的唯一零点的取值范围是．

试题解析：（1），因为是函数的极值点，

所以，所以，所以

当时，，所以，

当时，，所以，

所以在单调递减，在单调递增

（2），设，则，

所以在单调递增，即在单调递增．

由于是函数的极值点，所以是在的唯一零点，

所以

由于时，；当时，，

所以函数在单调递减，在单调递增

且函数在处取得最小值，所以，

因为恒成立，所以

∴，即．

又因为，故可解得．

所以，所以，

即的取值范围是．