Question

已知定义在区间[-π，

3π

2

]上的函数y=f（x）图象关于直线x=

π

4

对称，当x≥

π

4

时，f（x）=-sinx．
（1）作出y=f（x）的图象；（2）求y=f（x）的解析式；
（3）若关于x的方程f（x）=a有解，将方程中的a取一确定的值所得的所有的解的和记为M_a，求M_a的所有可能的值及相应的a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先根据当x≥

π

4

时，f（x）=-sinx画出在[

π

4

，

3π

2

]上的图象；再根据图象关于直线x=

π

4

对称把另一部分添上即可；
（2）先根据x∈[-π，

π

4

]得到

π

2

-x∈[

π

4

，

3π

2

]，再结合当x≥

π

4

时，f（x）=-sinx即可求出y=f（x）的解析式；
（3）结合图象可得：关于x的方程f（x）=a有解可以分为四个根，三个根，两个根三种情况，再分别对每种情况求出所有的解的和M_a即可．

解答：解：（1）y=f（x）的图象如图所示．
（2）任取x∈[-π，

π

4

]，则

π

2

-x∈[

π

4

，

3π

2

]，因函数y=f(x)图象关于直线x=

π

4

对称，
则f(x)=f(

π

2

-x)．，又当x≥

π

4

时，f(x)=-sinx，则f(x)=f(

π

2

-x)=-sin(

π

2

-x)=-cosx．
即f(x)=

-cosx，x∈[-π π 4 ) -sinx，x∈[ π 4 3π 2 ]

．
（3）当a=-1时，f（x）=a的两根为0，

π

2

，则Ma=

π

2

；
当a∈(-1，-

2

2

)时，f(x)=a的四根满足x1＜x2＜

π

4

＜x3＜x4，由对称性得，x₁+x₂=0，x₃+x₄=π，则M_a=π；
当a=-

2

2

时，f(x)=a的三根满足x1＜x2=

π

4

＜x3，由对称性得，x3+x1=

π

2

，则Ma=

3π

4

；当a∈(-

2

2

，1]时，f(x)=a两根为x1，x2，则对称性得，Ma=

π

2

．
综上，当a∈(-1，-

2

2

)时，Ma=π；当a=-

2

2

时Ma=

3π

4

；当a∈(-

2

2

，1]∪{-1}时，Ma=

π

2

．

点评：本题主要考查分段函数的解析式求法及其图象的作法以及分类讨论思想的运用．解决第二问的关键在于根据x∈[-π，

π

4

]得到

π

2

-x∈[

π

4

，

3π

2

]．