Question

15．已知函数f（x）=cosωx（ω＞0），其图象上相邻的两条对称轴之间的距离为$\frac{π}{2}$，
（Ⅰ）求f（x+$\frac{π}{6}$）在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]上的单调区间；
（Ⅱ）若α∈（$\frac{5π}{12}$，$\frac{π}{2}$），f（α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{3}$，求sin2α的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意知函数f（x）的周期T，求出ω，写出f（x）解析式，再求函数f（x+$\frac{π}{6}$）的单调增、减区间，从而得出结论；
（Ⅱ）根据f（α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{3}$求出sin（2α-$\frac{π}{3}$）的值，再化sin2α=sin（2α-$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{3}$），从而求出对应的三角函数值．

解答 解：（Ⅰ）由函数f（x）=cosωx（ω＞0）图象上相邻的两条对称轴之间的距离为$\frac{π}{2}$，
知T=π，∴$ω=\frac{2π}{T}=2$，
∴f（x）=cos2x，
∴$f（x+\frac{π}{6}）=cos（2x+\frac{π}{3}）$；
令$2kπ-π≤2x+\frac{π}{3}≤2kπ$，
解得$kπ-\frac{2π}{3}≤x≤kπ-\frac{π}{6}$，
∴函数f（x+$\frac{π}{6}$）的单调增区间为[kπ-$\frac{2π}{3}$，kπ-$\frac{π}{6}$]，k∈Z；
单调减区间为[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z；
又$x∈[{-\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}}]$，
∴f（x+$\frac{π}{6}$）的单减区间为$x∈[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$，
单增区间为$x∈[{\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}}]$；…（7分）
（Ⅱ）已知f（α+$\frac{π}{3}$）=cos[2（α+$\frac{π}{3}$）]
=cos（2α+$\frac{2π}{3}$）
=-cos（2α-$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{3}$，
∴$cos（2α-\frac{π}{3}）=-\frac{1}{3}$，
又$α∈（\frac{5π}{12}，\frac{π}{2}）$，
∴$2α-\frac{π}{3}∈（\frac{π}{2}，\frac{2π}{3}）$，
∴$sin（2α-\frac{π}{3}）=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$；
∴sin2α=sin（2α-$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{3}$）
=sin（2α-$\frac{π}{3}$）cos$\frac{π}{3}$+cos（2α-$\frac{π}{3}$）sin$\frac{π}{3}$
=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$×$\frac{1}{2}$+（-$\frac{1}{3}$）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{2\sqrt{2}-\sqrt{3}}{6}$．…（13分）

点评 本题考查了三角恒等变换以及三角函数的图象与性质的应用问题，是综合题．