Question

设函数f（x）=（x-1）²+mlnx，其中m为常数．
（1）当在定义域上的单调性；
（2）若函数f（x）有极值点，求实数m的取值范围及f（x）的极值点．
（3）当．

Answer 1

解：（1）函数f（x）=（x-1）²+mlnx，可得函数的定义域为（0，+∞）
f′（x）=2（x+1）+==（x＞0）
当m时，可知f′（x）＞0对任意x∈（0，+∞）恒成立，
∴函数f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数．
（2）由（1）知，当时，函数f（x）在（0，+∞）上是单调增函数，没有极值点．
当时，，函数f（x）在（0，+∞）上是单调增函数，没有极值点．
当时，令f'（x）=0得，，…（6分）
①当m≤0时，，则，
列表：

x	（0，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	极小值	↗

由此看出，当m≤0时，f（x）有唯一极小值点．…（8分）
②当时，0＜x₁＜x₂＜1，
列表：

x	（0，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

由此看出，当时，f（x）有极小值点和极大值点．
综上，当m≤0时，f（x）有唯一极小值点，
当时，f（x）有极小值点和极大值点．…（10分）
（3）由（2）知，m=-1时，函数f（x）=（x-1）²-lnx，
此时，函数f（x）有唯一极小值点，
当时，f'（x）＜0，f（x）在上是减函数，
∵n≥3时，，
∴，即
∴n≥3时，．
令函数h（x）=（x-1）-lnx（x＞0），则
当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）在（1，+∞）上是增函数，
∵n≥3时，1，∴f（1），即
∴n≥3时，ln（n+1）-lnn
综上，当n≥3，n∈N时，不等式恒成立．
分析：（1）求导数，通过m，x＞0，可判导数为正，可推f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（2）对m进行分类讨论，分别依据极值的定义进行分析，注意分类要做到不重不漏；
（3）要证明的问题即是当m=-1时的函数，通过构造函数分析函数的单调性得出结论．
点评：本题为导数和不等式的综合应用，涉及分类讨论的思想和极值的求解，属中档题．