Question

如图，曲线C₁是以原点O为中心、F₁，F₂为焦点的椭圆的一部分，曲线C₂是以O为顶点、F₂为焦点的抛物线的一部分，A是曲线C₁和C₂的交点，曲线C₁的离心率为

1

3

，若|AF1|=

7

2

，|AF2|=

5

2

．
（Ⅰ）求曲线C₁和C₂所在的椭圆和抛物线方程；
（Ⅱ）过F₂作一条与x轴不垂直的直线，分别与曲线C₁、C₂依次交于B、C、D、E四点，若G为CD中点、H为BE中点，问

|BE|•|GF2|

|CD|•|HF2|

是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因为椭圆的离心率为

1

3

，所以

c

a

=

1

3

，因为|AF1|=

7

2

|AF2|=

5

2

，所以可求出a，再根据

c

a

=

1

3

，求出C，就可得到b的值，求出椭圆方程．也就可得F₂的坐标，再根据曲线C₂是以O为顶点、F₂为焦点的抛物线，求出抛物线方程．
（Ⅱ）先设出B，E，C，D四点坐标，以及过F₂作的与x轴不垂直的直线方程，分别代入椭圆方程和抛物线方程，求y₁+y_2，
y₁y₂，y₃+y₄，y₃y₄，再代入

|BE|•|GF2|

|CD|•|HF2|

，化简即可．

解答：解：（Ⅰ）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，则2a=|AF1|+|AF2|=

7

2

+

5

2

=6，得a=3
所以椭圆方程为

x2

9

+

y2

8

=1，抛物线方程为y²=4x．    
（Ⅱ）设B（x₁，y₁），E（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），直线y=k（x-1），代入

x2

9

+

y2

8

=1得：8(

y

k

+1)2+9y2-72=0，即（8+9k²）y²+16ky-64k²=0
则=-

16k

8+9k2

，y₁y₂=-

64k2

8+9k2

同理，y=k（x-1），代入y²=4x得，ky^2-4y-4k=0
则y₃+y₄=

4

k

，y₃y₄=-4
∴

|BE|•|GF2|

|CD|•|HF2|

=

|y1-y2|

|y3-y4|

1 2 |y1+y2|

1 2 |y3+y4|

=3

点评：本题考查了椭圆，抛物线方程的求法，以及直线与圆锥曲线位置关系的判断，做题时要细心．