Question

已知圆C经过点A（1，3），B（5，1），且圆心C在直线x-y+1=0上．
（1）求圆C的方程；
（2）设直线l经过点（0，3），且l与圆C相切，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）根据圆心在直线x-y+1=0上，设出圆心坐标，设出圆的半径，得到圆的标准方程，然后把点A，B的坐标代入圆的方程，求解方程组即可得到待求系数，则方程可求；
（2）分斜率存在和不存在写出切线方程，当斜率不存在时，验证知符合题意，当斜率存在时，利用圆心到直线的距离等于半径可求k的值，所以圆的切线方程可求．

解答：解：（1）因为圆心C在直线x-y+1=0上，所以设圆C的圆心C（a，a+1），半径为r（r＞0），
所以圆的方程为（x-a）²+（y-a-1）²=r²．
因为圆C经过点A（1，3），B（5，1），
所以，

(1-a)2+(3-a-1)2=r2 (5-a)2+(1-a-1)2=r2

，即

2a2-6a+5=r2 2a2-10a+25=r2

，
解得：

a=5 r=5

．
所以，圆C的方程为（x-5）²+（y-6）²=25；
（2）由题意设直线l的方程为y=kx+3，或x=0
当l的方程为x=0时，验证知l与圆C相切．
当l的方程为y=kx+3，即kx-y+3=0时，
圆心C到直线l的距离为d=

|5k-6+3|

k2+1

=5，解得：k=-

8

15

．
所以，l的方程为y=-

8

15

x+3，即8x+15y-45=0．
所以，直线l的方程为x=0，或8x+15y-45=0．

点评：本题考查用待定系数法求圆的方程，一般可通过已知条件，设出所求方程，再寻求方程组进行求解．
考查了过定点的圆的切线方程的求法，注意分类讨论，利用点到直线的距离等于半径比联立方程后让判别式等于0要简洁．此题是中档题．