Question

已知椭圆C： 的离心率为，椭圆C上任意一点到椭圆两焦点的距离之和为6.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线与椭圆C交于A，B两点，点P(0,1)，且满足PA＝PB，求直线的方程．

Answer 1

解　(1)由已知2a＝6，＝，解得a＝3，c＝，所以b²＝a²－c²＝3，故椭圆C的方程为＋＝1。
(2)设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则AB的中点为E.
由得(1＋3k²)x²－12kx＋3＝0，∵直线与椭圆有两个不同的交点，
∴Δ＝144k²－12(1＋3k²)>0，解得k²>.且x₁＋x₂＝，x₁x₂＝.
而y₁＋y₂＝k(x₁＋x₂)－4＝k·－4＝－，∴E点坐标为.
∵PA＝PB，∴PE⊥AB，k_PE·k_AB＝－1.∴·k＝－1.解得k＝±1，满足k²>，
∴直线l的方程为x－y－2＝0或x＋y＋2＝0.

略