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    【题目】已知函数.

    若曲线在点处的切线平行于轴,求函数的单调区间；

    若时,总有,求实数的取值范围.

    【答案】当时， ，在上单调递减；当时, ， 在上单调递增；.

    【解析】

    曲线在点处的切线平行于轴等价于在处的导数等于0.解出a的值，再求导判断正负号，写出单调区间。

    将带入不等式，化简整理为，转化为讨论

    ，在上的最大值，求出a的取值范围。

    由得:

    在点处的切线斜率，则.

    此时，.

    由，得.

    当时， ，在上单调递减；

    当时, ， 在上单调递增.

    由得:.

    设，，则.

    ，.

    ① 当，即时，，在上单调递增，

    ，不合要求，应舍去.

    ② 当，即时，，在上单调递减，

    ，满足要求.

    ③ 当，即时，令得.

    当时，在上单调递减;当时，在上单调递增.

    ，令得.

    综合得，的取值范围为.

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    （1）求动点的轨迹的方程；

    （2）设过点的直线与曲线交于两点，点关于轴的对称点为（点与点不重合），证明：直线恒过定点，并求该定点的坐标.

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    【题目】已知抛物线的焦点曲线的一个焦点， 为坐标原点，点为抛物线上任意一点，过点作轴的平行线交抛物线的准线于，直线交抛物线于点.

    （Ⅰ）求抛物线的方程；

    （Ⅱ）求证：直线过定点，并求出此定点的坐标.

    【答案】（I）；（II）证明见解析.

    【解析】试题分析：（Ⅰ）将曲线化为标准方程，可求得的焦点坐标分别为，可得，所以，即抛物线的方程为；（Ⅱ）结合（Ⅰ），可设，得，从而直线的方程为,联立直线与抛物线方程得，解得，直线的方程为，整理得的方程为，此时直线恒过定点.

    试题解析：（Ⅰ）由曲线，化为标准方程可得， 所以曲线是焦点在轴上的双曲线，其中，故， 的焦点坐标分别为，因为抛物线的焦点坐标为，由题意知，所以，即抛物线的方程为.

    （Ⅱ）由（Ⅰ）知抛物线的准线方程为，设，显然.故，从而直线的方程为,联立直线与抛物线方程得，解得

    ①当，即时，直线的方程为，

    ②当，即时，直线的方程为，整理得的方程为，此时直线恒过定点， 也在直线的方程为上，故直线的方程恒过定点.

    【题型】解答题
    【结束】
    21

    【题目】已知函数，

    （Ⅰ）当时，求函数的单调递减区间；

    （Ⅱ）若时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；

    （Ⅲ）若数列满足， ，记的前项和为，求证： .

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    【题目】在平面直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2（1+sin2θ）＝2，点M的极坐标为（，）．

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